En matemáticas , el grupo de Brauer de un campo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales sobre K , con la suma dada por el producto tensorial de las álgebras. Fue definido por el algebrista Richard Brauer .
El grupo de Brauer surgió de intentos de clasificar álgebras de división en un campo. También se puede definir en términos de cohomología de Galois . De manera más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya o, de manera equivalente, utilizando paquetes proyectivos .
Un álgebra simple central (CSA) sobre un campo K es una K -álgebra A asociativa de dimensión finita tal que A es un anillo simple y el centro de A es igual a K. Tenga en cuenta que, en general, las CSA no son álgebras de división, aunque las CSA se pueden utilizar para clasificar álgebras de división.
Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es el propio C , por lo que es demasiado grande para ser CSA sobre R ). Las álgebras de división de dimensión finita con centro R (es decir, la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones según un teorema de Frobenius , mientras que cualquier anillo matricial sobre los reales o cuaterniones – M( n , R ) o M ( n , H ) – es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).
Obtenemos una relación de equivalencia en CSA sobre K mediante el teorema de Artin-Wedderburn ( la parte de Wedderburn , de hecho), para expresar cualquier CSA como M ( n , D ) para algún álgebra de división D. Si nos fijamos solo en D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia que identifica M( m , D ) con M( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , obtenemos la relación de equivalencia de Brauer en CSA sobre K. Los elementos del grupo Brauer son las clases de equivalencia Brauer de CSA sobre K.
Dadas las álgebras centrales simples A y B , se puede considerar su producto tensorial A ⊗ B como una K -álgebra (ver producto tensorial de R-álgebras ). Resulta que esto siempre es centralmente simple. Una manera ingeniosa de ver esto es usar una caracterización: un álgebra central simple A sobre K es un K -álgebra que se convierte en un anillo matricial cuando extendemos el campo de escalares a una clausura algebraica de K . Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra simple central A como un espacio vectorial K es siempre un cuadrado. El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.
Como resultado, las clases de isomorfismo de los CSA sobre K forman un monoide bajo producto tensorial, compatible con la equivalencia de Brauer, y todas las clases de Brauer son invertibles : la inversa de un álgebra A viene dada por su álgebra A op opuesta (el anillo opuesto con la misma acción de K ya que la imagen de K → A está en el centro de A ). Explícitamente, para un CSA A tenemos A ⊗ A op = M( n 2 , K ) , donde n es el grado de A sobre K .
El grupo de Brauer de cualquier campo es un grupo de torsión . Con más detalle, defina el período de un álgebra simple central A sobre K como su orden como elemento del grupo de Brauer. Defina el índice de A como el grado del álgebra de división que Brauer equivale a A. Entonces el período de A divide el índice de A (y por tanto es finito). [1]
Otra interpretación importante del grupo de Brauer de un campo K es que clasifica las variedades proyectivas sobre K que se vuelven isomorfas al espacio proyectivo sobre una clausura algebraica de K. Tal variedad se llama variedad Severi-Brauer , y existe una correspondencia uno a uno entre las clases de isomorfismo de las variedades Severi-Brauer de dimensión n − 1 sobre K y las álgebras simples centrales de grado n sobre K. [6]
Por ejemplo, las variedades de Severi-Brauer de dimensión 1 son exactamente las cónicas suaves en el plano proyectivo sobre K. Para un campo K de característica distinta de 2, cada cónica sobre K es isomorfa a una de la forma ax 2 + by 2 = z 2 para algunos elementos a y b distintos de cero de K. El álgebra simple central correspondiente es el álgebra de cuaterniones [7]
La cónica es isomorfa a la recta proyectiva P 1 sobre K si y sólo si el álgebra de cuaterniones correspondiente es isomorfa al álgebra matricial M(2, K ).
Para un entero positivo n , sea K un campo en el que n es invertible tal que K contiene una n- ésima raíz primitiva de la unidad ζ . Para los elementos a y b distintos de cero de K , el álgebra cíclica asociada es el álgebra simple central de grado n sobre K definida por
Las álgebras cíclicas son las álgebras centrales simples mejor comprendidas. (Cuando n no es invertible en K o K no tiene una raíz nésima primitiva de la unidad, una construcción similar da el álgebra cíclica ( χ , a ) asociada a una extensión cíclica Z / n χ de K y un elemento distinto de cero a de K. [8 ] )
El teorema de Merkurjev-Suslin en la teoría K algebraica tiene una fuerte consecuencia sobre el grupo de Brauer. Es decir, para un entero positivo n , sea K un campo en el que n es invertible de modo que K contenga una n- ésima raíz primitiva de la unidad. Luego, el subgrupo del grupo de Brauer de K eliminado por n se genera mediante álgebras cíclicas de grado n . [9] De manera equivalente, cualquier álgebra de división de período que divide n es equivalente de Brauer a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado n . Incluso para un número primo p , hay ejemplos que muestran que un álgebra de división de período p no necesita ser en realidad isomorfa a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado p . [10]
Es un problema abierto importante (planteado por Albert ) si cada álgebra de división de grado primo sobre un campo es cíclica. Esto es cierto si el grado es 2 o 3, pero el problema está abierto para primos de al menos 5. Los resultados conocidos son sólo para clases especiales de campos. Por ejemplo, si K es un campo global o un campo local , entonces un álgebra de división de cualquier grado sobre K es cíclico, por Albert- Brauer - Hasse - Noether . [11] Saltman demostró un resultado de "dimensional superior" en la misma dirección: si K es un campo de grado de trascendencia 1 sobre el campo local Q p , entonces cada álgebra de división de grado primo l ≠ p sobre K es cíclica. [12]
Para cualquier álgebra simple central A sobre un campo K , el período de A divide el índice de A y los dos números tienen los mismos factores primos. [13] El problema del índice de período consiste en limitar el índice en términos del período, para los campos K de interés. Por ejemplo, si A es un álgebra simple central sobre un campo local o un campo global, entonces Albert-Brauer-Hasse-Noether demostró que el índice de A es igual al período de A. [11]
Para un álgebra simple central A sobre un campo K de grado de trascendencia n sobre un campo algebraicamente cerrado, se conjetura que ind( A ) divide por( A ) n −1 . Esto es cierto para n ≤ 2 , siendo el caso n = 2 un avance importante de De Jong , agudizado en característica positiva por De Jong-Starr y Lieblich. [14]
El grupo de Brauer juega un papel importante en la formulación moderna de la teoría de campos de clases . Si K v es un campo local no de Arquímedes, la teoría de campos de clases locales da un isomorfismo canónico inv v : Br( K v ) → Q / Z , el invariante de Hasse . [2]
El caso de un campo global K (como un campo numérico ) se aborda mediante la teoría de campos de clases globales . Si D es un álgebra simple central sobre K y v es un lugar de K , entonces D ⊗ K v es un álgebra simple central sobre K v , la finalización de K en v . Esto define un homomorfismo del grupo Brauer de K al grupo Brauer de K v . Un álgebra simple central dada D se divide para todos menos para un número finito de v , de modo que la imagen de D bajo casi todos esos homomorfismos es 0. El grupo de Brauer Br( K ) encaja en una secuencia exacta construida por Hasse: [15] [16]
donde S es el conjunto de todos los lugares de K y la flecha derecha es la suma de las invariantes locales; el grupo de Brauer de los números reales se identifica con (1/2) Z / Z . La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether .
El hecho de que la suma de todos los invariantes locales de un álgebra simple central sobre K sea cero es una ley de reciprocidad típica . Por ejemplo, aplicar esto a un álgebra de cuaterniones ( a , b ) sobre Q da la ley de reciprocidad cuadrática .
Para un campo arbitrario K , el grupo de Brauer se puede expresar en términos de cohomología de Galois de la siguiente manera: [17]
donde G m denota el grupo multiplicativo , visto como un grupo algebraico sobre K. Más concretamente, el grupo de cohomología indicado significa H 2 (Gal( K s / K ), K s * ) , donde K s denota un cierre separable de K .
El isomorfismo del grupo de Brauer con un grupo de cohomología de Galois se puede describir de la siguiente manera. El grupo de automorfismos del álgebra de matrices n × n es el grupo lineal proyectivo PGL( n ). Dado que todas las álgebras simples centrales sobre K se vuelven isomorfas al álgebra matricial sobre un cierre separable de K , el conjunto de clases de isomorfismo de álgebras simples centrales de grado n sobre K se puede identificar con el conjunto de cohomología de Galois H 1 ( K , PGL( n )) . La clase de un álgebra simple central en H 2 ( K , G m ) es la imagen de su clase en H 1 bajo el homomorfismo de frontera
asociado a la secuencia exacta corta 1 → G m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .
Auslander y Goldman generalizaron el grupo de Brauer desde campos hasta anillos conmutativos . Grothendieck fue más allá al definir al grupo Brauer como cualquier esquema .
Hay dos formas de definir el grupo de Brauer de un esquema X , utilizando álgebras de Azumaya sobre X o paquetes proyectivos sobre X. La segunda definición implica paquetes proyectivos que son localmente triviales en la topología étale , no necesariamente en la topología Zariski . En particular, un paquete proyectivo se define como cero en el grupo de Brauer si y solo si es la proyectivización de algún paquete vectorial.
El grupo cohomológico de Brauer de un esquema cuasicompacto X se define como el subgrupo de torsión del grupo de cohomología étale H 2 ( X , G m ) . (Todo el grupo H 2 ( X , G m ) no necesita ser torsión, aunque sí lo es para los esquemas regulares X . [18] ) El grupo de Brauer es siempre un subgrupo del grupo de Brauer cohomológico. Gabber demostró que el grupo de Brauer es igual al grupo de Brauer cohomológico para cualquier esquema con un haz de líneas amplio (por ejemplo, cualquier esquema cuasi-proyectivo sobre un anillo conmutativo). [19]
Se puede considerar que todo el grupo H 2 ( X , G m ) clasifica los gerbos sobre X con el grupo estructural G m .
Para variedades proyectivas suaves sobre un campo, el grupo de Brauer es un invariante biracional . Ha sido fructífero. Por ejemplo, cuando X también está racionalmente conexo entre números complejos, el grupo de Brauer de X es isomorfo al subgrupo de torsión del grupo de cohomología singular H 3 ( X , Z ) , que por lo tanto es un invariante biracional. Artin y Mumford utilizaron esta descripción del grupo de Brauer para dar el primer ejemplo de una variedad uniracional X sobre C que no es establemente racional (es decir, ningún producto de X con un espacio proyectivo es racional). [20]
Artin conjeturó que todo esquema adecuado sobre números enteros tiene un grupo de Brauer finito. [21] Esto está lejos de ser conocido incluso en el caso especial de una variedad proyectiva suave X sobre un campo finito. De hecho, la finitud del grupo de Brauer para superficies en ese caso es equivalente a la conjetura de Tate para divisores en X , uno de los principales problemas de la teoría de los ciclos algebraicos . [22]
Para un esquema integral regular de dimensión 2 que es plano y propio sobre el anillo de números enteros de un campo numérico, y que tiene una sección , la finitud del grupo de Brauer es equivalente a la finitud del grupo de Tate-Shafarevich Ш para el jacobiano Variedad de la fibra general (una curva sobre un campo numérico). [23] La finitud de Ш es un problema central en la aritmética de curvas elípticas y, más generalmente, de variedades abelianas .
Sea X una variedad proyectiva suave sobre un campo numérico K. El principio de Hasse predeciría que si X tiene un punto racional sobre todas las terminaciones K v de K , entonces X tiene un punto K -racional. El principio de Hasse se aplica a algunas clases especiales de variedades, pero no en general. Manin usó el grupo Brauer de X para definir la obstrucción de Brauer-Manin , que se puede aplicar en muchos casos para mostrar que X no tiene K puntos incluso cuando X tiene puntos sobre todas las terminaciones de K.
