Álgebra de Azumaya

En matemáticas , un álgebra de Azumaya es una generalización de álgebras simples centrales a -álgebras donde no es necesario que haya un cuerpo . Esta noción fue introducida en un artículo de 1951 de Goro Azumaya , para el caso donde es un anillo local conmutativo . La noción fue desarrollada más en teoría de anillos y en geometría algebraica , donde Alexander Grothendieck la convirtió en la base de su teoría geométrica del grupo de Brauer en los seminarios de Bourbaki de 1964-65. Ahora hay varios puntos de acceso a las definiciones básicas. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Sobre un anillo

Un álgebra de Azumaya ^{[1] [2]} sobre un anillo conmutativo es un -álgebra que obedece cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

1. Existe una -álgebra tal que el producto tensorial de -álgebras es equivalente de Morita a . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B\otimes _{R}A}$ ${\displaystyle R}$
2. El -álgebra es equivalente a Morita a , donde es el álgebra opuesta de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} }\otimes _{R}A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle A}$
3. El centro de es , y es separable . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$
4. ${\displaystyle A}$es finitamente generado , fiel y proyectivo como un -módulo, y el producto tensorial es isomorfo a través del mapa que envía al endomorfismo de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}A^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle {\text{End}}_{R}(A)}$ ${\displaystyle a\otimes b}$ ${\displaystyle x\mapsto axb}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos sobre un campo

Sobre un cuerpo , las álgebras de Azumaya se clasifican completamente mediante el teorema de Artin-Wedderburn, ya que son las mismas que las álgebras centrales simples . Estas son álgebras isomorfas al anillo de matrices para alguna álgebra de división sobre cuyo centro es exactamente . Por ejemplo, las álgebras de cuaterniones proporcionan ejemplos de álgebras centrales simples. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos sobre anillos locales

Dado un anillo conmutativo local , un -álgebra es Azumaya si y solo si está libre de rango finito positivo como un -módulo, y el álgebra es un álgebra central simple sobre , por lo tanto, todos los ejemplos provienen de álgebras centrales simples sobre . ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}(R/{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Álgebras cíclicas

Existe una clase de álgebras de Azumaya llamadas álgebras cíclicas que generan todas las clases de similitud de álgebras de Azumaya sobre un cuerpo , por lo tanto, todos los elementos en el grupo de Brauer (definido a continuación). Dada una extensión de cuerpo de Galois cíclico finito de grado , para cada generador existe un anillo polinomial torcido , también denotado , generado por un elemento tal que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\text{Br}}(K)}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in K^{*}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}$ ${\displaystyle L[x]_{\sigma }}$ ${\displaystyle A(\sigma ,b)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}=b}$

y se cumple la siguiente propiedad de conmutación:

${\displaystyle l\cdot x=\sigma (x)\cdot l.}$

Como espacio vectorial sobre , tiene base con multiplicación dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L[x]_{\sigma }}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}}$

${\displaystyle x^{i}\cdot x^{j}={\begin{cases}x^{i+j}&{\text{ if }}i+j<n\\x^{i+j-n}b&{\text{ if }}i+j\geq n\\\end{cases}}}$

Nótese que para dar una variedad geométricamente integral ^[3] , también hay un álgebra cíclica asociada para la extensión del campo cociente . ${\displaystyle X/K}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}(X_{L})/{\text{Frac}}(X)}$

Grupo Brauer de un anillo

Sobre cuerpos, existe una clasificación cohomológica de las álgebras de Azumaya utilizando la cohomología de Étale . De hecho, este grupo, llamado grupo de Brauer , también puede definirse como las clases de similitud ^{[1] : 3} de las álgebras de Azumaya sobre un anillo , donde los anillos son similares si existe un isomorfismo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A,A'}$

${\displaystyle A\otimes _{R}M_{n}(R)\cong A'\otimes _{R}M_{m}(R)}$

de anillos para algunos números naturales . Entonces, esta equivalencia es de hecho una relación de equivalencia, y si , , entonces , mostrando ${\displaystyle n,m}$ ${\displaystyle A_{1}\sim A_{1}'}$ ${\displaystyle A_{2}\sim A_{2}'}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes _{R}A_{2}\sim A_{1}'\otimes _{R}A_{2}'}$

${\displaystyle [A_{1}]\otimes [A_{2}]=[A_{1}\otimes _{R}A_{2}]}$

es una operación bien definida. Esto forma una estructura de grupo en el conjunto de tales clases de equivalencia llamada grupo de Brauer , denotado . Otra definición la da el subgrupo de torsión del grupo de cohomología étale ${\displaystyle {\text{Br}}(R)}$

${\displaystyle {\text{Br}}_{\text{coh}}(R):={\text{H}}_{et}^{2}({\text{Spec}}(R),\mathbb {G} _{m})_{\text{tors}}}$

que se denomina grupo cohomológico de Brauer . Estas dos definiciones coinciden cuando es un cuerpo. ${\displaystyle R}$

Grupo de Brauer que utiliza la cohomología de Galois

Existe otra definición equivalente del grupo de Brauer que utiliza la cohomología de Galois . Para una extensión de campo existe un grupo de Brauer cohomológico definido como ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(E/F):=H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}$

y el grupo de Brauer cohomológico para se define como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)={\underset {E/F}{\text{colim}}}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}$

donde el colimite se toma sobre todas las extensiones de campo de Galois finitas.

Cálculo para un campo local

Sobre un cuerpo local no arquimediano , como los números p -ádicos , la teoría de cuerpos de clases locales da el isomorfismo de los grupos abelianos: ^{[4] pág. 193} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)\cong \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Esto se debe a que, dadas las extensiones de campo abeliano, existe una secuencia corta y exacta de grupos de Galois. ${\displaystyle E_{2}/E_{1}/F}$

${\displaystyle 0\to {\text{Gal}}(E_{2}/E_{1})\to {\text{Gal}}(E_{2}/F)\to {\text{Gal}}(E_{1}/F)\to 0}$

y de la teoría de campos de clases locales, existe el siguiente diagrama conmutativo: ^[5]

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{2}/F),E_{1}^{\times })&\to &H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{1}/F),E_{1}^{\times })\\\downarrow &&\downarrow \\\left({\frac {1}{[E_{2}:E_{1}]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} &\to &\left({\frac {1}{[E_{1}:F]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \end{matrix}}}$

donde los mapas verticales son isomorfismos y los mapas horizontales son inyecciones.

norte-torsión para un campo

Recordemos que existe la secuencia de Kummer ^[6]

${\displaystyle 1\to \mu _{n}\to \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {\cdot n} \mathbb {G} _{m}\to 1}$

Dando una secuencia exacta larga en cohomología para un cuerpo . Dado que el teorema 90 de Hilbert implica , hay una secuencia exacta corta asociada ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{1}(F,\mathbb {G} _{m})=0}$

${\displaystyle 0\to H_{et}^{2}(F,\mu _{n})\to {\text{Br}}(F)\xrightarrow {\cdot n} {\text{Br}}(F)\to 0}$

mostrando el segundo grupo de cohomología étale con coeficientes en las raíces ésimas de la unidad es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$

${\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}.}$

Generadores denorte-Clases de torsión en el grupo de Brauer sobre un campo

El símbolo de Galois , o símbolo de residuo normativo, es una función del grupo de la teoría K de Milnor de torsión al grupo de cohomología étale , denotado por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\otimes \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$

${\displaystyle R_{n,F}:K_{2}^{M}(F)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$^[6]

Proviene de la composición del producto de copa en cohomología étale con el isomorfismo del Teorema 90 de Hilbert.

${\displaystyle \chi _{n,F}:F^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\to H_{\text{et}}^{1}(F,\mu _{n})}$

por eso

${\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})=\chi _{n,F}(a)\cup \chi _{n,F}(b)}$

Resulta que este mapa se factoriza a través de , cuya clase para está representada por un álgebra cíclica . Para la extensión de Kummer donde , tome un generador del grupo cíclico y construya . Existe una construcción alternativa, pero equivalente, a través de la cohomología de Galois y la cohomología étale. Considere la secuencia exacta corta de módulos triviales ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E=F({\sqrt[{n}]{a}})}$ ${\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(E/F)}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {F}}/F)}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\to 0}$

La secuencia larga y exacta produce un mapa

${\displaystyle H_{\text{Gal}}^{1}(F,\mathbb {Z} /n)\xrightarrow {\delta } H_{\text{Gal}}^{2}(F,\mathbb {Z} )}$

Para el carácter único

${\displaystyle \chi :{\text{Gal}}(E/F)\to \mathbb {Z} /n}$

con , hay un ascensor único ${\displaystyle \chi (\sigma )=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}:{\text{Gal}}({\overline {F}}/F)\to \mathbb {Z} /n}$

y

${\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)=[A(\sigma ,b)]\in {\text{Br}}(F)}$

Tenga en cuenta que la clase proviene del mapa del teorema de Hilbert 90. Entonces, dado que existe una raíz primitiva de la unidad , también existe una clase ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle \chi _{n,F}(b)}$ ${\displaystyle \zeta \in \mu _{n}\subset F}$

${\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)\cup (\zeta )\in H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}$

Resulta que esta es precisamente la clase . Debido al teorema de isomorfismo de residuos normativos , es un isomorfismo y las clases de torsión en son generadas por las álgebras cíclicas . ${\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})}$ ${\displaystyle R_{n,F}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}$ ${\displaystyle [A(\sigma ,b)]}$

Teorema de Skolem-Noether

Uno de los resultados estructurales importantes sobre las álgebras de Azumaya es el teorema de Skolem-Noether : dado un anillo conmutativo local y un álgebra de Azumaya , los únicos automorfismos de son internos. Es decir, la siguiente función es sobreyectiva: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{cases}A^{*}\to {\text{Aut}}(A)\\a\mapsto (x\mapsto a^{-1}xa)\end{cases}}}$

¿Dónde está el grupo de unidades en Esto es importante porque se relaciona directamente con la clasificación cohomológica de las clases de similitud de las álgebras de Azumaya sobre un esquema. En particular, implica que un álgebra de Azumaya tiene un grupo de estructura para algún , y el grupo de cohomología de Čech ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\check {H}}^{1}((X)_{et},{\text{PGL}}_{n})}$

da una clasificación cohomológica de dichos paquetes. Luego, esto puede relacionarse con el uso de la secuencia exacta ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {G} _{m}\to {\text{GL}}_{n}\to {\text{PGL}}_{n}\to 1}$

Resulta que la imagen de es un subgrupo del subgrupo de torsión . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})_{tors}}$

En un esquema

Un álgebra de Azumaya sobre un esquema X con estructura haz , según el seminario original de Grothendieck, es un haz de -álgebras que es étale localmente isomorfo a un haz de álgebra matricial; se debería, sin embargo, añadir la condición de que cada haz de álgebra matricial sea de rango positivo. Esta definición convierte un álgebra de Azumaya sobre en una 'forma retorcida' del haz . Milne, Étale Cohomology , parte en cambio de la definición de que es un haz de -álgebras cuyo tallo en cada punto es un álgebra de Azumaya sobre el anillo local en el sentido dado anteriormente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle M_{n}({\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Dos álgebras de Azumaya y son equivalentes si existen haces localmente libres y de rango positivo finito en cada punto tales que ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}$

${\displaystyle A_{1}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{1})\simeq A_{2}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{2}),}$^{[1] : 6}

donde es el haz de endomorfismos de . El grupo de Brauer de (un análogo del grupo de Brauer de un cuerpo) es el conjunto de clases de equivalencia de las álgebras de Azumaya. La operación de grupo está dada por el producto tensorial, y la inversa está dada por el álgebra opuesta. Nótese que esto es distinto del grupo de Brauer cohomológico que se define como . ${\displaystyle \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}$

Ejemplo sobre Spec(O[1/norte])

La construcción de un álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo se puede globalizar considerando el álgebra no conmutativa ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/n]}$

${\displaystyle A_{a,b}={\frac {\mathbb {Z} [1/n]\langle i,j,k\rangle }{i^{2}-a,j^{2}-b,ij-k,ji+k}}}$

Entonces, como un haz de álgebras, tiene la estructura de un álgebra de Azumaya. La razón para restringirse al conjunto afín abierto es porque el álgebra de cuaterniones es un álgebra de división sobre los puntos y solo si el símbolo de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a,b}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])\hookrightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (p)}$

${\displaystyle (a,b)_{p}=1}$

lo cual es cierto en todos los casos, excepto en el caso de un número finito de números primos.

Ejemplo sobrePAGnorte

Las álgebras de Azumaya se pueden construir como para un álgebra de Azumaya sobre un cuerpo . Por ejemplo, el haz de endomorfismos de es el haz de matrices ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {E}})\otimes _{k}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$

${\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b))={\begin{pmatrix}{\mathcal {O}}&{\mathcal {O}}(b-a)\\{\mathcal {O}}(a-b)&{\mathcal {O}}\end{pmatrix}}}$

De modo que se puede construir un álgebra de Azumaya sobre a partir de este haz tensado con un álgebra de Azumaya sobre , tal como un álgebra de cuaterniones. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Aplicaciones

Las álgebras de Azumaya se han aplicado de forma significativa en la geometría diofántica , siguiendo el trabajo de Yuri Manin . La obstrucción de Manin al principio de Hasse se define utilizando el grupo de esquemas de Brauer.

Véase también

• Gerbe
• Teoría de campos de clases
• Teoría K algebraica
• Cohomología motívica
• Teorema de isomorfismo de residuos normativos

Referencias

1. Milne, James S. (1980). Étale cohomología (PDF) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08238-3. OCLC  5028959. Archivado desde el original (PDF) el 21 de junio de 2020.
2. Borceux, Francis; Vitale, Enrico (2002). "Categorías de Azumaya" (PDF) . Estructuras categóricas aplicadas . 10 : 449–467.
3. lo que significa que es una variedad integral cuando se extiende al cierre algebraico de su campo base
4. Serre, Jean-Pierre. (1979). Campos locales. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. ISBN 978-1-4757-5673-9.OCLC 859586064  .
5. "Conferencias sobre teoría de campos de clases cohomológicos" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 22 de junio de 2020.
6. Srinivas, V. (1994). "8. El teorema de Merkurjev-Suslin". Teoría K algebraica (segunda edición). Boston, MA: Birkhäuser Boston. págs. 145–193. ISBN 978-0-8176-4739-1.OCLC 853264222  .

Grupo de Brauer y álgebras de Azumaya

• Milne, John. Cohomología étale. Cap. IV
• Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya , Lecture Notes in Mathematics, vol. 389, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0057799, MR  0417149, Zbl  0284.13002
• Hilo de Mathoverflow sobre "Ejemplos explícitos de álgebras de Azumaya"

Álgebras de división

• Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlín, etc.: Springer-Verlag , ISBN 3-540-52117-8, Zbl0756.11008 ​
• Saltman, David J. (1999). Lecciones sobre álgebras de división . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 94. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0979-2.Zbl 0934.16013  .