En matemáticas , el invariante de Hasse de un álgebra es un invariante asociado a una clase de Brauer de álgebras sobre un cuerpo . El concepto recibe su nombre de Helmut Hasse . El invariante desempeña un papel en la teoría de cuerpos de clases locales .
Sea K un cuerpo local con valoración v y D una K -álgebra. Podemos suponer que D es un álgebra de división con centro K de grado n . La valoración v puede extenderse a D , por ejemplo, extendiéndola de forma compatible a cada subcuerpo conmutativo de D : el grupo de valores de esta valoración es (1/ n ) Z . [1]
Hay un subcuerpo conmutativo L de D que no está ramificado sobre K , y D se divide sobre L . [2] El cuerpo L no es único pero todas esas extensiones son conjugadas por el teorema de Skolem-Noether , que además muestra que cualquier automorfismo de L es inducido por una conjugación en D . Tómese γ en D tal que la conjugación por γ induce el automorfismo de Frobenius de L / K y sea v (γ) = k / n . Entonces k / n módulo 1 es el invariante de Hasse de D . Depende únicamente de la clase Brauer de D . [3]
El invariante de Hasse es, por tanto, una función definida en el grupo de Brauer de un cuerpo local K al grupo divisible Q / Z . [3] [4] Cada clase del grupo de Brauer está representada por una clase del grupo de Brauer de una extensión no ramificada de L / K de grado n , [5] que, por el teorema de Grunwald-Wang y el teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether, podemos tomar como un álgebra cíclica ( L ,φ,π k ) para algún k mod n , donde φ es la función de Frobenius y π es un uniformizador. [6] La función invariante adjunta el elemento k / n mod 1 a la clase. Esto muestra la función invariante como un homomorfismo.
El mapa invariante se extiende a Br( K ) al representar cada clase por algún elemento de Br( L / K ) como se indicó anteriormente. [3] [4]
Para un cuerpo local no arquimediano, el mapa invariante es un isomorfismo de grupo . [3] [7]
En el caso del cuerpo R de números reales , existen dos clases de Brauer, representadas por la propia álgebra R y el álgebra de cuaterniones H. [8] Es conveniente asignar el invariante cero a la clase de R y el invariante 1/2 módulo 1 a la clase de cuaterniones.
En el caso del cuerpo C de números complejos, la única clase de Brauer es la trivial, con cero invariante. [9]
Para un cuerpo global K , dada una álgebra central simple D sobre K entonces para cada valoración v de K podemos considerar la extensión de escalares D v = D ⊗ K v La extensión D v se divide para todos excepto un número finito de v , de modo que el invariante local de D v es casi siempre cero. El grupo de Brauer Br( K ) encaja en una secuencia exacta [8] [9]
donde S es el conjunto de todas las valoraciones de K y la flecha derecha es la suma de los invariantes locales. La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether . La exactitud en el término medio es un hecho profundo de la teoría de campos de clases globales .
