campo local

Campo topológico localmente compacto.

En matemáticas , un campo K se llama campo local (no de Arquímedes) si es completo con respecto a una topología inducida por una valoración discreta v y si su campo residual k es finito. ^[1] De manera equivalente, un campo local es un campo topológico localmente compacto con respecto a una topología no discreta . ^[2] A veces, los números reales R y los números complejos C (con sus topologías estándar) también se definen como campos locales; esta es la convención que adoptaremos a continuación. Dado un campo local, la valoración definida en él puede ser de dos tipos, cada uno corresponde a uno de los dos tipos básicos de campos locales: aquellos en los que la valoración es arquimediana y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, se llama al campo local campo local de Arquímedes , en el segundo caso, se llama campo local no de Arquímedes . ^[3] Los campos locales surgen naturalmente en la teoría de números como terminaciones de campos globales . ^[4]

Si bien los campos locales de Arquímedes han sido bastante conocidos en matemáticas durante al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no de Arquímedes, los campos de números p -ádicos para enteros primos positivos p , fueron introducidos por Kurt Hensel al final del siglo XIX. Siglo 19.

Todo campo local es isomorfo (como campo topológico) a uno de los siguientes: ^[3]

• Campos locales de Arquímedes ( característica cero): los números reales R , y los números complejos C.
• Campos locales no arquimedianos de característica cero: extensiones finitas de los p -números ádicos Q _p (donde p es cualquier número primo ).
• Campos locales no arquimedianos de característica p (para p cualquier número primo dado): el campo de la serie formal de Laurent F _q (( T )) sobre un campo finito F _q , donde q es una potencia de p .

En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de campos locales aparecen como las terminaciones de campos de números algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos . Los trabajos de investigación en teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que solo requiere que el campo residual sea perfecto y de característica positiva, no necesariamente finito. ^[5] Este artículo utiliza la definición anterior.

Valor absoluto inducido

Dado tal valor absoluto en un campo K , se puede definir la siguiente topología en K : para un número real positivo m , defina el subconjunto B _m de K por

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Entonces, b+B _m forman una base de vecindad de b en K .

Por el contrario, un campo topológico con una topología localmente compacta no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir utilizando la medida de Haar del grupo aditivo del campo.

Características básicas de los campos locales no arquímedes.

Para un campo local F que no es de Arquímedes (con valor absoluto indicado por |·|), los siguientes objetos son importantes:

• su anillo de números enteros , que es un anillo de valoración discreto , es la bola unitaria cerrada de F , y es compacto ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$
• las unidades en su anillo de números enteros que forma un grupo y es la esfera unitaria de F ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• el único ideal primo distinto de cero en su anillo de números enteros, que es su bola unitaria abierta ; ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$
• un generador de llamado uniformizador de ; ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$
• su campo residual que es finito (ya que es compacto y discreto ). ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

Cada elemento a distinto de cero de F se puede escribir como a = ϖ ⁿ u con u una unidad y n un entero único. La valoración normalizada de F es la función sobreyectiva v  : F → Z ∪ {∞} definida enviando una a distinta de cero al entero único n tal que a = ϖ ⁿ u con u una unidad, y enviando 0 a ∞. Si q es la cardinalidad del campo residual, el valor absoluto de F inducido por su estructura como campo local viene dado por: ^[6]

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Una definición equivalente y muy importante de un campo local no de Arquímedes es que es un campo completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo residual es finito.

Ejemplos

1. Los números p -ádicos : el anillo de números enteros de Q _p es el anillo de números p -ádicos Z _p . Su ideal primo es p Z _p y su campo residual es Z / p Z . ^{Cada elemento distinto de} cero de Q _p se puede escribir como up n donde u es una unidad en ^Z p _y n es un número entero, entonces v ( up n ) = n para la valoración normalizada.
2. La serie formal de Laurent sobre un campo finito : el anillo de números enteros de F _q (( T )) es el anillo de la serie de potencias formal F _q [[ T ]]. Su ideal máximo es ( T ) (es decir, la serie de potencias cuyo término constante es cero) y su campo residual es F _q . Su valoración normalizada está relacionada con el grado (inferior) de una serie formal de Laurent de la siguiente manera:

   ${\displaystyle v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m}$(donde a _{− m} es distinto de cero).

3. La serie formal de Laurent sobre números complejos no es un campo local. Por ejemplo, su campo residuo es C [[ T ]]/( T ) = C , que no es finito.

Grupos unitarios superiores

El enésimo grupo de unidades superior ^de un campo local F no de Arquímedes es

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

para n  ≥ 1. Al grupo U ⁽¹⁾ se le llama grupo de unidades principales , y a cualquier elemento del mismo se le llama unidad principal . El grupo unitario completo se denomina U ⁽⁰⁾ . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$

Los grupos unitarios superiores forman una filtración decreciente del grupo unitario.

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }$

cuyos cocientes están dados por

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

para n  ≥ 1. ^[7] (Aquí " " significa un isomorfismo no canónico). ${\displaystyle \approx }$

Estructura del grupo unitario

El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo local F no de Arquímedes es isomorfo a

${\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}$

donde q es el orden del campo residual, y μ _{q −1} es el grupo de ( q −1)st raíces de la unidad (en F ). Su estructura como grupo abeliano depende de su característica :

• Si F tiene una característica positiva p , entonces

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }}$

donde N denota los números naturales ;

• Si F tiene característica cero (es decir, es una extensión finita de Q _p de grado d ), entonces

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}}$

donde a  ≥ 0 se define de modo que el grupo de raíces unitarias de potencia p en F es . ^[8] ${\displaystyle \mu _{p^{a}}}$

Teoría de los campos locales.

Esta teoría incluye el estudio de tipos de campos locales, extensiones de campos locales usando el lema de Hensel , extensiones de Galois de campos locales, filtraciones de grupos de ramificación de grupos de Galois de campos locales, el comportamiento del mapa de normas en campos locales, el homomorfismo de reciprocidad local y teorema de existencia en la teoría de campos de clases locales , correspondencia local de Langlands , teoría de Hodge-Tate (también llamada teoría p -ádica de Hodge ), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría de campos de clases locales, ver, por ejemplo, ^[9]

Campos locales de dimensiones superiores

Un campo local a veces se denomina campo local unidimensional .

Un campo local no de Arquímedes puede verse como el campo de fracciones de la finalización del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.

Para un entero no negativo n , un campo local de n dimensiones es un campo de valoración discreto completo cuyo campo residual es un campo local de dimensiones ( n − 1). ^[5] Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición utilizada en este artículo) o un campo perfecto de característica positiva.

Desde el punto de vista geométrico, los campos locales de n dimensiones con el último campo de residuo finito están naturalmente asociados a una bandera completa de subesquemas de un esquema aritmético de n dimensiones.

Ver también

• Lema de Hensel
• grupo de ramificación
• Teoría de campos de clases locales
• Campo local superior

Citas

1. Cassels y Fröhlich 1967, pág. 129, cap. VI, Introducción...
2. Weil 1995, pág. 20.
3. Milne 2020, pag. 127, observación 7.49.
4. Neukirch 1999, pag. 134, art. 5.
5. Fesenko y Vostokov 2002, Def. 1.4.6.
6. Weil 1995, cap. Yo, Teorema 6.
7. Neukirch 1999, pag. 122.
8. Neukirch 1999, Teorema II.5.7.
9. Fesenko y Vostokov 2002, capítulos 1 a 4, 7.

Referencias

• Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , eds. (1967), Teoría algebraica de números , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Fesenko, Ivan B .; Vostokov, Sergei V. (2002), Campos locales y sus extensiones , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 121 (Segunda ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3259-2, señor  1915966
• Milne, James S. (2020), Teoría algebraica de números (3.08 ed.)
• Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . vol. 322. Traducido por Schappacher, Norbert. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Weil, André (1995), Teoría básica de números , Clásicos de las matemáticas, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67 (Primera ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7

enlaces externos

• "Campo local", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]