Paradoja de Banach-Tarski

Teorema geométrico

"¿Es posible descomponer una bola en un número finito de conjuntos de puntos y volver a ensamblarla en dos bolas idénticas a la original?"

La paradoja de Banach-Tarski es un teorema de la geometría de conjuntos que establece lo siguiente: dada una bola sólida en un espacio tridimensional , existe una descomposición de la bola en un número finito de subconjuntos disjuntos , que luego pueden volver a unirse de una manera diferente para producir dos copias idénticas de la bola original. De hecho, el proceso de reensamblaje solo implica mover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma original. Sin embargo, las piezas en sí no son "sólidos" en el sentido tradicional, sino dispersiones infinitas de puntos . La reconstrucción puede funcionar con tan solo cinco piezas. ^[1]

Una forma alternativa del teorema establece que, dados dos objetos sólidos "razonables" (como una pelota pequeña y una pelota enorme), las piezas cortadas de cualquiera de ellos pueden volver a ensamblarse para formar el otro. Esto se suele expresar de manera informal como "un guisante puede cortarse y volver a ensamblarse para formar el Sol" y se denomina "la paradoja del guisante y el Sol ".

El teorema se llama paradoja porque contradice la intuición geométrica básica. "Duplicar la pelota" dividiéndola en partes y moviéndolas por rotaciones y traslaciones , sin estirarlas, doblarlas ni añadirles nuevos puntos, parece imposible, ya que todas estas operaciones deberían , intuitivamente hablando, conservar el volumen . La intuición de que tales operaciones conservan los volúmenes no es matemáticamente absurda e incluso está incluida en la definición formal de volúmenes. Sin embargo, esto no es aplicable aquí porque en este caso es imposible definir los volúmenes de los subconjuntos considerados. Al volver a ensamblarlos se reproduce un conjunto que tiene un volumen que resulta ser diferente del volumen inicial.

A diferencia de la mayoría de los teoremas de la geometría, la demostración matemática de este resultado depende de la elección de axiomas para la teoría de conjuntos de manera crítica. Puede demostrarse utilizando el axioma de elección , que permite la construcción de conjuntos no mensurables , es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario, y cuya construcción requiere un número incontable de elecciones. ^[2]

En 2005 se demostró que las piezas en la descomposición pueden elegirse de tal manera que puedan moverse continuamente en su lugar sin chocar entre sí. ^[3]

Como demostraron independientemente Leroy ^[4] y Simpson ^[5] , la paradoja de Banach-Tarski no viola los volúmenes si se trabaja con lugares en lugar de espacios topológicos. En este contexto abstracto, es posible tener subespacios sin punto pero aún así no vacíos. Las partes de la descomposición paradójica se intersecan mucho en el sentido de lugares, tanto que a algunas de estas intersecciones se les debe dar una masa positiva. Si se permite tener en cuenta esta masa oculta, la teoría de lugares permite medir satisfactoriamente todos los subconjuntos (e incluso todos los sublocales) del espacio euclidiano.

Publicación de Banach y Tarski

En un artículo publicado en 1924, ^[6] Stefan Banach y Alfred Tarski dieron una construcción de dicha descomposición paradójica , basada en el trabajo anterior de Giuseppe Vitali sobre el intervalo unitario y en las descomposiciones paradójicas de la esfera de Felix Hausdorff , y analizaron una serie de cuestiones relacionadas con las descomposiciones de subconjuntos de espacios euclidianos en varias dimensiones. Demostraron la siguiente afirmación más general, la forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski :

Dados dos subconjuntos acotados A y B de un espacio euclidiano en al menos tres dimensiones, ambos con un interior no vacío , existen particiones de A y B en un número finito de subconjuntos disjuntos, , (para algún entero k ), tales que para cada (entero) i entre 1 y k , los conjuntos A _i y B _i son congruentes . ${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}}$ ${\displaystyle B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}}$

Ahora bien, sea A la bola original y B la unión de dos copias trasladadas de la bola original. Entonces, la proposición significa que la bola original A puede dividirse en un cierto número de piezas y luego rotarse y trasladarse de tal manera que el resultado sea el conjunto completo B , que contiene dos copias de A .

La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa en las dimensiones uno y dos, pero Banach y Tarski demostraron que una afirmación análoga sigue siendo verdadera si se permiten subconjuntos numerables . La diferencia entre las dimensiones 1 y 2 por un lado, y 3 y superiores por otro, se debe a la estructura más rica del grupo E ( n ) de movimientos euclidianos en 3 dimensiones. Para n = 1, 2 el grupo es resoluble , pero para n ≥ 3 contiene un grupo libre con dos generadores. John von Neumann estudió las propiedades del grupo de equivalencias que hacen posible una descomposición paradójica e introdujo la noción de grupos susceptibles . También encontró una forma de la paradoja en el plano que utiliza transformaciones afines que preservan el área en lugar de las congruencias habituales.

Tarski demostró que los grupos dóciles son precisamente aquellos para los que no existen descomposiciones paradójicas. Como en la paradoja de Banach-Tarski solo se necesitan subgrupos libres, esto condujo a la antigua conjetura de von Neumann , que fue refutada en 1980.

Tratamiento formal

La paradoja de Banach-Tarski establece que una pelota en el espacio euclidiano ordinario puede duplicarse utilizando únicamente las operaciones de partición en subconjuntos, reemplazo de un conjunto por un conjunto congruente y reensamblado. Su estructura matemática se elucida en gran medida enfatizando el papel desempeñado por el grupo de movimientos euclidianos e introduciendo las nociones de conjuntos equidescomponibles y un conjunto paradójico . Supóngase que G es un grupo que actúa sobre un conjunto X. En el caso especial más importante, X es un espacio euclidiano n -dimensional (para la integral n ), y G consiste en todas las isometrías de X , es decir, las transformaciones de X en sí mismo que preservan las distancias, usualmente denotadas E ( n ) . Dos figuras geométricas que pueden transformarse entre sí se denominan congruentes , y esta terminología se extenderá a la G -acción general. Dos subconjuntos A y B de X se denominan G -equidescomponibles , o equidescomponibles con respecto a G , si A y B pueden dividirse en el mismo número finito de partes G -congruentes respectivamente. Esto define una relación de equivalencia entre todos los subconjuntos de X. Formalmente, si existen conjuntos no vacíos , tales que ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$ ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{k}}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},}$

${\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }}1\leq i<j\leq k,}$

y existen elementos tales que ${\displaystyle g_{i}\in G}$

${\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ for all }}1\leq i\leq k,}$

entonces se puede decir que A y B son G -equidescomponibles usando k piezas. Si un conjunto E tiene dos subconjuntos disjuntos A y B tales que A y E , así como B y E , son G -equidescomponibles, entonces E se llama paradójico .

Utilizando esta terminología, la paradoja de Banach-Tarski puede reformularse de la siguiente manera:

Una bola euclidiana tridimensional es equidescomponible con dos copias de sí misma.

De hecho, en este caso hay un resultado claro , debido a Raphael M. Robinson : ^[7] doblar la bola se puede lograr con cinco piezas, y menos de cinco piezas no serán suficientes.

La versión fuerte de la paradoja afirma:

Dos subconjuntos acotados cualesquiera del espacio euclidiano tridimensional con interiores no vacíos son equidescomponibles.

Aunque aparentemente más general, esta afirmación se deriva de manera sencilla de la duplicación de una pelota utilizando una generalización del teorema de Bernstein-Schroeder debido a Banach que implica que si A es equidescomponible con un subconjunto de B y B es equidescomponible con un subconjunto de A , entonces A y B son equidescomponibles.

La paradoja de Banach-Tarski se puede poner en contexto señalando que para dos conjuntos en la forma fuerte de la paradoja, siempre hay una función biyectiva que puede mapear los puntos de una forma en la otra de manera uno a uno. En el lenguaje de la teoría de conjuntos de Georg Cantor , estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad . Por lo tanto, si uno amplía el grupo para permitir biyecciones arbitrarias de X , entonces todos los conjuntos con interior no vacío se vuelven congruentes. Del mismo modo, una bola se puede convertir en una bola más grande o más pequeña al estirarla, o en otras palabras, al aplicar transformaciones de similitud . Por lo tanto, si el grupo G es lo suficientemente grande, se pueden encontrar conjuntos G -equidescomponibles cuyos "tamaños" varían. Además, dado que un conjunto numerable se puede convertir en dos copias de sí mismo, se podría esperar que usar una cantidad numerable de piezas pudiera resolver el problema de alguna manera.

Por otra parte, en la paradoja de Banach-Tarski, el número de piezas es finito y las equivalencias permitidas son congruencias euclidianas, que preservan los volúmenes. Sin embargo, de alguna manera, terminan duplicando el volumen de la pelota. Si bien esto es ciertamente sorprendente, algunas de las piezas utilizadas en la descomposición paradójica son conjuntos no mensurables , por lo que la noción de volumen (más precisamente, medida de Lebesgue ) no está definida para ellas, y la partición no se puede lograr de manera práctica. De hecho, la paradoja de Banach-Tarski demuestra que es imposible encontrar una medida finitamente aditiva (o una medida de Banach ) definida en todos los subconjuntos de un espacio euclidiano de tres (o mayores) dimensiones que sea invariante con respecto a los movimientos euclidianos y tome el valor uno en un cubo unitario. En su trabajo posterior, Tarski demostró que, a la inversa, la inexistencia de descomposiciones paradójicas de este tipo implica la existencia de una medida invariante finitamente aditiva.

El núcleo de la prueba de la forma de "doblar la pelota" de la paradoja presentada a continuación es el hecho notable de que por una isometría euclidiana (y renombrando los elementos), uno puede dividir un cierto conjunto (esencialmente, la superficie de una esfera unitaria) en cuatro partes, luego rotar una de ellas para convertirse en sí misma más dos de las otras partes. Esto se deduce bastante fácilmente de una descomposición F _{2 -paradójica de} F ₂ , el grupo libre con dos generadores. La prueba de Banach y Tarski se basó en un hecho análogo descubierto por Hausdorff algunos años antes: la superficie de una esfera unitaria en el espacio es una unión disjunta de tres conjuntos B , C , D y un conjunto numerable E tal que, por un lado, B , C , D son congruentes por pares, y por otro lado, B es congruente con la unión de C y D . Esto a menudo se llama la paradoja de Hausdorff .

Conexión con trabajos anteriores y el papel del axioma de elección

Banach y Tarski reconocen explícitamente la construcción de Giuseppe Vitali de 1905 del conjunto que lleva su nombre , la paradoja de Hausdorff (1914) y un artículo anterior (1923) de Banach como precursores de su trabajo. Las construcciones de Vitali y Hausdorff dependen del axioma de elección de Zermelo (" AC "), que también es crucial para el artículo de Banach-Tarski, tanto para probar su paradoja como para la prueba de otro resultado:

Dos polígonos euclidianos , uno de los cuales contiene estrictamente al otro, no son equidescomponibles .

Ellos comentan:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(El papel que este axioma juega en nuestro razonamiento nos parece digno de atención)

Señalan que, si bien el segundo resultado concuerda plenamente con la intuición geométrica, su prueba utiliza AC de una manera aún más sustancial que la prueba de la paradoja. Por lo tanto, Banach y Tarski insinúan que AC no debería rechazarse únicamente porque produce una descomposición paradójica, ya que un argumento de ese tipo también debilita las pruebas de enunciados geométricamente intuitivos.

Sin embargo, en 1949, AP Morse demostró que la afirmación sobre los polígonos euclidianos se puede demostrar en la teoría de conjuntos ZF y, por lo tanto, no requiere el axioma de elección. En 1964, Paul Cohen demostró que el axioma de elección es independiente de ZF , es decir, la elección no se puede demostrar a partir de ZF . Una versión más débil de un axioma de elección es el axioma de elección dependiente , DC , y se ha demostrado que DC no es suficiente para demostrar la paradoja de Banach-Tarski, es decir,

La paradoja de Banach-Tarski no es un teorema de ZF ni de ZF + DC , asumiendo su consistencia. ^[8]

En matemáticas se utilizan grandes cantidades de CA. Como señala Stan Wagon al final de su monografía, la paradoja de Banach-Tarski ha sido más significativa por su papel en las matemáticas puras que por sus cuestiones fundamentales: motivó una nueva dirección fructífera para la investigación, la amenidad de los grupos, que no tiene nada que ver con las cuestiones fundamentales.

En 1991, utilizando resultados entonces recientes de Matthew Foreman y Friedrich Wehrung, ^[9] Janusz Pawlikowski demostró que la paradoja de Banach-Tarski se sigue de ZF más el teorema de Hahn-Banach . ^[10] El teorema de Hahn-Banach no se basa en el axioma de elección completo, pero se puede demostrar utilizando una versión más débil de AC llamada lema del ultrafiltro .

Un bosquejo de la prueba

Aquí se esboza una demostración similar, pero no idéntica, a la de Banach y Tarski. Básicamente, la descomposición paradójica de la bola se logra en cuatro pasos:

1. Encuentra una descomposición paradójica del grupo libre en dos generadores .
2. Encuentre un grupo de rotaciones en el espacio 3-d isomorfo al grupo libre en dos generadores.
3. Utilice la descomposición paradójica de ese grupo y el axioma de elección para producir una descomposición paradójica de la esfera unitaria hueca.
4. Amplíe esta descomposición de la esfera a una descomposición de la bola unitaria sólida.

Estos pasos se analizan con más detalle a continuación.

Paso 1

Gráfica de Cayley de F ₂ , que muestra la descomposición en los conjuntos S ( a ) y aS ( a ⁻¹ ). Recorrer un borde horizontal de la gráfica en dirección a la derecha representa la multiplicación por la izquierda de un elemento de F ₂ por a ; recorrer un borde vertical de la gráfica en dirección hacia arriba representa la multiplicación por la izquierda de un elemento de F ₂ por b . Los elementos del conjunto S ( a ) son puntos verdes; los elementos del conjunto aS ( a ⁻¹ ) son puntos azules o puntos rojos con borde azul. Los puntos rojos con borde azul son elementos de S ( a ⁻¹ ), que es un subconjunto de aS ( a ⁻¹ ).

El grupo libre con dos generadores a y b consiste en todas las cadenas finitas que pueden formarse a partir de los cuatro símbolos a , a ⁻¹ , b y b ⁻¹ tales que ninguna a aparece directamente junto a una a ⁻¹ y ninguna b aparece directamente junto a una b ⁻¹ . Dos de estas cadenas pueden concatenarse y convertirse en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente las subcadenas "prohibidas" con la cadena vacía. Por ejemplo: abab ⁻¹ a ⁻¹ concatenado con abab ⁻¹ a produce abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a , que contiene la subcadena a ⁻¹ a , y por lo tanto se reduce a abab ⁻¹ bab ⁻¹ a , que contiene la subcadena b ⁻¹ b , que se reduce a abaab ⁻¹ a . Se puede comprobar que el conjunto de esas cadenas con esta operación forma un grupo cuyo elemento identidad es la cadena vacía e . Este grupo puede llamarse F ₂ .

El grupo se puede "descomponer paradójicamente" de la siguiente manera: Sea S ( a ) el subconjunto de que consiste en todas las cadenas que comienzan con a , y defina S ( a ⁻¹ ), S ( b ) y S ( b ⁻¹ ) de manera similar. Claramente, ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$

pero también

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}$

y

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}$

donde la notación aS ( a ⁻¹ ) significa tomar todas las cadenas en S ( a ⁻¹ ) y concatenarlas a la izquierda con a .

Esto es el núcleo de la prueba. Por ejemplo, puede haber una cadena en el conjunto que, debido a la regla de que no debe aparecer junto a , se reduce a la cadena . De manera similar, contiene todas las cadenas que comienzan con (por ejemplo, la cadena que se reduce a ). De esta manera, contiene todas las cadenas que comienzan con , y , así como la cadena vacía . ${\displaystyle aa^{-1}b}$ ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle aa^{-1}a^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle e}$

El grupo F ₂ se ha cortado en cuatro partes (más el singleton { e }), luego dos de ellas se han "desplazado" multiplicándolas por a o b , y luego se han "reensamblado" como dos piezas para hacer una copia de y las otras dos para hacer otra copia de . Eso es exactamente lo que se pretende hacer con la pelota. ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Paso 2

Para encontrar un grupo libre de rotaciones del espacio 3D, es decir, que se comporte igual (o sea " isomorfo ") al grupo libre F ₂ , se toman dos ejes ortogonales (por ejemplo, los ejes x y z ). Luego, se toma A como una rotación de alrededor del eje x , y B como una rotación de alrededor del eje z (hay muchos otros pares adecuados de múltiplos irracionales de π que también podrían usarse aquí). ^[11] ${\textstyle \theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$ ${\displaystyle \theta }$

El grupo de rotaciones generado por A y B se llamará H . Sea un elemento de H que comienza con una rotación positiva sobre el eje z , es decir, un elemento de la forma con . Se puede demostrar por inducción que asigna el punto a , para algún . Analizando y módulo 3, se puede demostrar que . El mismo argumento repetido (por simetría del problema) es válido cuando comienza con una rotación negativa sobre el eje z , o una rotación sobre el eje x . Esto demuestra que si está dado por una palabra no trivial en A y B , entonces . Por lo tanto, el grupo H es un grupo libre, isomorfo a F ₂ . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\ldots b^{k_{3}}a^{k_{2}}b^{k_{1}}}$ ${\displaystyle k_{1}>0,\ k_{2},k_{3},\ldots ,k_{n}\neq 0,\ n\geq 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (1,0,0)}$ ${\textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{3^{N}}}\right)}$ ${\displaystyle k,l,m\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k,l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l\neq 0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \neq e}$

Las dos rotaciones se comportan exactamente como los elementos a y b en el grupo F ₂ : ahora hay una descomposición paradójica de H .

Este paso no se puede realizar en dos dimensiones, ya que implica rotaciones en tres dimensiones. Si se realizan dos rotaciones no triviales sobre el mismo eje, el grupo resultante es (si la relación entre los dos ángulos es racional) o el grupo abeliano libre sobre dos elementos; en cualquier caso, no tiene la propiedad requerida en el paso 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Una prueba aritmética alternativa de la existencia de grupos libres en algunos grupos ortogonales especiales usando cuaterniones integrales conduce a descomposiciones paradójicas del grupo de rotación . ^[12]

Paso 3

La esfera unitaria S ² se divide en órbitas por la acción de nuestro grupo H : dos puntos pertenecen a la misma órbita si y solo si hay una rotación en H que mueve el primer punto al segundo. (Obsérvese que la órbita de un punto es un conjunto denso en S ² ). El axioma de elección se puede utilizar para elegir exactamente un punto de cada órbita; agrupar estos puntos en un conjunto M . La acción de H sobre una órbita dada es libre y transitiva y, por lo tanto, cada órbita se puede identificar con H . En otras palabras, cada punto en S ² se puede alcanzar de exactamente una manera aplicando la rotación adecuada de H al elemento adecuado de M . Debido a esto, la descomposición paradójica de H produce una descomposición paradójica de S ² en cuatro partes A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ como sigue:

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}$

${\displaystyle \displaystyle A_{3}=S(b)M}$

${\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}$

donde definimos

${\displaystyle S(a)M=\{s(x)|s\in S(a),x\in M\}}$

y lo mismo para los demás conjuntos, y donde definimos

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots }$

(Las cinco partes "paradójicas" de F ₂ no se utilizaron directamente, ya que dejarían M como una pieza extra después de la duplicación, debido a la presencia del singleton { e }.)

La (mayoría de la) esfera ahora se ha dividido en cuatro conjuntos (cada uno denso en la esfera), y cuando se rotan dos de estos, el resultado es el doble de lo que se tenía antes:

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}}$

Paso 4

Finalmente, conecta cada punto de S ² con un segmento semiabierto al origen; la descomposición paradójica de S ² produce entonces una descomposición paradójica de la esfera unitaria sólida menos el punto en el centro de la esfera. (Este punto central requiere un poco más de cuidado; véase más abajo).

Nota: este esquema pasa por alto algunos detalles. Hay que tener cuidado con el conjunto de puntos de la esfera que se encuentran en el eje de alguna rotación en H. Sin embargo, solo hay una cantidad contable de esos puntos y, como en el caso del punto en el centro de la bola, es posible modificar la prueba para tenerlos en cuenta a todos. (Véase más abajo.)

Algunos detalles, desarrollados

En el paso 3, la esfera se dividió en órbitas de nuestro grupo H . Para simplificar la prueba, se omitió la discusión de los puntos que están fijos por alguna rotación; dado que la descomposición paradójica de F ₂ se basa en el desplazamiento de ciertos subconjuntos, el hecho de que algunos puntos sean fijos podría causar algunos problemas. Dado que cualquier rotación de S ² (excepto la rotación nula) tiene exactamente dos puntos fijos , y dado que H , que es isomorfo a F ₂ , es contable , hay una cantidad contable de puntos de S ² que están fijos por alguna rotación en H . Denotemos este conjunto de puntos fijos como D . El paso 3 demuestra que S ² − D admite una descomposición paradójica.

Lo que queda por demostrar es la afirmación : S ² − D es equidescomponible con S ² .

Demostración. Sea λ una línea que pase por el origen y que no intersecta ningún punto en D . Esto es posible ya que D es contable. Sea J el conjunto de ángulos, α, tales que para algún número natural n , y algún P en D , r ( n α)P también está en D , donde r ( n α) es una rotación alrededor de λ de n α. Entonces J es contable. Por lo tanto, existe un ángulo θ que no está en J . Sea ρ la rotación alrededor de λ por θ. Entonces ρ actúa sobre S ² sin puntos fijos en D , es decir, ρ ⁿ ( D ) es disjunto de D , y para m < n natural , ρ ⁿ ( D ) es disjunto de ρ ^m ( D ). Sea E la unión disjunta de ρ ⁿ ( D ) sobre n = 0, 1, 2, ... . Entonces S ² = E ∪ ( S ² − E ) ~ ρ( E ) ∪ ( S ² − E ) = ( E − D ) ∪ ( S ² − E ) = S ² − D , donde ~ denota "es equidescomponible a".

Para el paso 4, ya se ha demostrado que la bola menos un punto admite una descomposición paradójica; queda por demostrar que la bola menos un punto es equidescomponible con la bola. Consideremos un círculo dentro de la bola, que contiene el punto en el centro de la bola. Usando un argumento como el usado para probar la Afirmación, uno puede ver que el círculo completo es equidescomponible con el círculo menos el punto en el centro de la bola. (Básicamente, un conjunto numerable de puntos en el círculo puede rotarse para darse a sí mismo más un punto más.) Nótese que esto implica la rotación alrededor de un punto distinto del origen, por lo que la paradoja de Banach-Tarski involucra isometrías del 3-espacio euclidiano en lugar de solo SO(3) .

Se hace uso del hecho de que si A ~ B y B ~ C , entonces A ~ C . La descomposición de A en C se puede realizar utilizando un número de piezas igual al producto de los números necesarios para tomar A en B y para tomar B en C .

La prueba esbozada arriba requiere 2 × 4 × 2 + 8 = 24 piezas: un factor de 2 para eliminar los puntos fijos, un factor de 4 del paso 1, un factor de 2 para recrear los puntos fijos y 8 para el punto central de la segunda bola. Pero en el paso 1, al mover { e } y todas las cadenas de la forma a ⁿ a S ( a ⁻¹ ), haga esto con todas las órbitas excepto una. Mueva { e } de esta última órbita al punto central de la segunda bola. Esto reduce el total a 16 + 1 piezas. Con más álgebra, también se pueden descomponer las órbitas fijas en 4 conjuntos como en el paso 1. Esto da 5 piezas y es lo mejor posible.

Obtener infinitas bolas de una

Utilizando la paradoja de Banach-Tarski, es posible obtener k copias de una bola en el n -espacio euclidiano a partir de una, para cualesquiera enteros n ≥ 3 y k ≥ 1, es decir, una bola puede cortarse en k piezas de modo que cada una de ellas sea equidescomponible en una bola del mismo tamaño que la original. Utilizando el hecho de que el grupo libre F ₂ de rango 2 admite un subgrupo libre de rango infinito numerable , una prueba similar arroja que la esfera unitaria S ^{n −1} puede dividirse en infinitas piezas numerables, cada una de las cuales es equidescomponible (con dos piezas) en S ^{n −1} utilizando rotaciones. Utilizando las propiedades analíticas del grupo de rotación SO( n ) , que es un grupo de Lie analítico conexo , se puede demostrar además que la esfera S ^{n −1} se puede dividir en tantas piezas como números reales (es decir, piezas), de modo que cada pieza es equidescomponible con dos piezas hasta S ^{n −1} utilizando rotaciones. Estos resultados se extienden luego a la bola unitaria privada del origen. Un artículo de 2010 de Valeriy Churkin ofrece una nueva prueba de la versión continua de la paradoja de Banach-Tarski. ^[13] ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Paradoja de von Neumann en el plano euclidiano

En el plano euclidiano , dos figuras que son equidescomponibles con respecto al grupo de movimientos euclidianos son necesariamente de la misma área y, por lo tanto, es imposible una descomposición paradójica de un cuadrado o disco de tipo Banach-Tarski que utilice solo congruencias euclidianas. John von Neumann dio una explicación conceptual de la distinción entre los casos planares y de dimensiones superiores : a diferencia del grupo SO(3) de rotaciones en tres dimensiones, el grupo E (2) de movimientos euclidianos del plano es resoluble , lo que implica la existencia de una medida finitamente aditiva en E (2) y R ² que es invariante bajo traslaciones y rotaciones, y descarta descomposiciones paradójicas de conjuntos no despreciables. Von Neumann planteó entonces la siguiente pregunta: ¿puede construirse una descomposición paradójica de este tipo si se permite un grupo mayor de equivalencias?

Está claro que si se permiten semejanzas , dos cuadrados cualesquiera en el plano se vuelven equivalentes incluso sin subdivisiones adicionales. Esto motiva restringir la atención al grupo SA ₂ de transformaciones afines que preservan el área . Dado que el área se preserva, cualquier descomposición paradójica de un cuadrado con respecto a este grupo sería contraintuitiva por las mismas razones que la descomposición de Banach-Tarski de una pelota. De hecho, el grupo SA ₂ contiene como subgrupo al grupo lineal especial SL (2, R ) , que a su vez contiene al grupo libre F ₂ con dos generadores como subgrupo. Esto hace plausible que la prueba de la paradoja de Banach-Tarski pueda ser imitada en el plano. La principal dificultad radica en que el cuadrado unitario no es invariante bajo la acción del grupo lineal SL (2, R ), por lo que no se puede simplemente transferir una descomposición paradójica del grupo al cuadrado, como en el tercer paso de la demostración anterior de la paradoja de Banach-Tarski. Además, los puntos fijos del grupo presentan dificultades (por ejemplo, el origen es fijo bajo todas las transformaciones lineales). Por eso von Neumann utilizó el grupo mayor SA ₂ incluyendo las traslaciones, y construyó una descomposición paradójica del cuadrado unitario con respecto al grupo ampliado (en 1929). Aplicando el método de Banach-Tarski, la paradoja para el cuadrado se puede reforzar de la siguiente manera:

Dos subconjuntos acotados cualesquiera del plano euclidiano con interiores no vacíos son equidescomponibles con respecto a los mapas afines que preservan el área.

Como señala von Neumann: ^[14]

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives aditivos Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant wäre".

"De acuerdo con esto, ya en el plano no existe ninguna medida aditiva no negativa (para la cual el cuadrado unitario tiene una medida de 1), que sea invariante con respecto a todas las transformaciones pertenecientes a A ₂ [el grupo de las transformaciones afines que preservan el área]".

Para explicarlo mejor, la cuestión de si existe o no una medida finitamente aditiva (que se conserva bajo ciertas transformaciones) depende de qué transformaciones se permitan. La medida de Banach de los conjuntos en el plano, que se conserva mediante traslaciones y rotaciones, no se conserva mediante transformaciones no isométricas, incluso cuando sí conservan el área de los polígonos. Los puntos del plano (excepto el origen) se pueden dividir en dos conjuntos densos que pueden llamarse A y B . Si los puntos A de un polígono dado se transforman mediante una determinada transformación que preserva el área y los puntos B mediante otra, ambos conjuntos pueden convertirse en subconjuntos de los puntos A en dos nuevos polígonos. Los nuevos polígonos tienen la misma área que el antiguo, pero los dos conjuntos transformados no pueden tener la misma medida que antes (ya que contienen solo una parte de los puntos A ) y, por lo tanto, no hay ninguna medida que "funcione".

La clase de grupos aislada por von Neumann en el curso del estudio del fenómeno de Banach-Tarski resultó ser muy importante para muchas áreas de las matemáticas: se trata de grupos dóciles o grupos con una media invariante, e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos resolubles. En términos generales, las descomposiciones paradójicas surgen cuando el grupo utilizado para las equivalencias en la definición de equidescomponibilidad no es dócil.

Progreso reciente

• 2000: El artículo de Von Neumann dejó abierta la posibilidad de una descomposición paradójica del interior del cuadrado unitario con respecto al grupo lineal SL (2, R ) (Wagon, Pregunta 7.4). En 2000, Miklós Laczkovich demostró que tal descomposición existe. ^[15] Más precisamente, sea A la familia de todos los subconjuntos acotados del plano con interior no vacío y a una distancia positiva del origen, y B la familia de todos los conjuntos planares con la propiedad de que una unión de un número finito de traslaciones bajo algunos elementos de SL (2, R ) contiene una vecindad perforada del origen. Entonces todos los conjuntos en la familia A son SL(2, R )-equidescomponibles, y lo mismo para los conjuntos en B . Se deduce que ambas familias consisten en conjuntos paradójicos.
• 2003: Se sabía desde hacía mucho tiempo que el plano completo era paradójico con respecto a SA ₂ , y que el número mínimo de piezas sería igual a cuatro siempre que existiera un subgrupo libre localmente conmutativo de SA ₂ . En 2003 Kenzi Satô construyó dicho subgrupo, confirmando que cuatro piezas son suficientes. ^[16]
• 2011: El artículo de Laczkovich ^[17] dejó abierta la posibilidad de que exista un grupo libre F de transformaciones lineales por partes que actúen sobre el disco perforado D \ {(0,0)} sin puntos fijos. Grzegorz Tomkowicz construyó dicho grupo, ^[18] mostrando que el sistema de congruencias A ≈ B ≈ C ≈ B U C puede realizarse por medio de F y D \ {(0,0)}.
• 2017: Se sabe desde hace mucho tiempo que existe en el plano hiperbólico H ² un conjunto E que es una tercera, una cuarta y ... y una -ésima parte de H ² . El requisito se cumplió mediante isometrías de H ^{2 que preservan la orientación.} John Frank Adams ^[19] y Jan Mycielski ^[20] obtuvieron resultados análogos, quienes demostraron que la esfera unitaria S ² contiene un conjunto E que es una mitad, una tercera, una cuarta y ... y una -ésima parte de S ² . Grzegorz Tomkowicz ^[21] demostró que la construcción de Adams y Mycielski se puede generalizar para obtener un conjunto E de H ² con las mismas propiedades que en S ² . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• 2017: La paradoja de von Neumann concierne al plano euclidiano, pero también hay otros espacios clásicos donde las paradojas son posibles. Por ejemplo, uno puede preguntarse si existe una paradoja de Banach-Tarski en el plano hiperbólico H ² . Esto fue demostrado por Jan Mycielski y Grzegorz Tomkowicz. ^{[22] [23]} Tomkowicz ^[24] demostró también que la mayoría de las paradojas clásicas son una consecuencia fácil de un resultado teórico de grafos y del hecho de que los grupos en cuestión son lo suficientemente ricos.
• 2018: En 1984, Jan Mycielski y Stan Wagon ^[25] construyeron una descomposición paradójica del plano hiperbólico H ² que utiliza conjuntos de Borel. La paradoja depende de la existencia de un subgrupo propiamente discontinuo del grupo de isometrías de H ² . Una paradoja similar fue obtenida en 2018 por Grzegorz Tomkowicz, ^[26] quien construyó un subgrupo libre propiamente discontinuo G del grupo afín SA (3, Z ). La existencia de tal grupo implica la existencia de un subconjunto E de Z ³ tal que para cualquier F finito de Z ³ existe un elemento g de G tal que , donde denota la diferencia simétrica de E y F . ${\displaystyle g(E)=E\triangle F}$ ${\displaystyle E\,\triangle \,F}$
• 2019: La paradoja de Banach-Tarski utiliza un número finito de piezas en la duplicación. En el caso de un número contable de piezas, dos conjuntos cualesquiera con interiores no vacíos son equidescomponibles mediante traslaciones. Pero permitiendo solo piezas medibles según Lebesgue, se obtiene: Si A y B son subconjuntos de R ⁿ con interiores no vacíos, entonces tienen medidas de Lebesgue iguales si y solo si son equidescomponibles mediante el uso de piezas medibles según Lebesgue. Jan Mycielski y Grzegorz Tomkowicz ^{[27] extendieron este resultado a} grupos de Lie de dimensión finita y a segundos grupos topológicos localmente compactos contables que están totalmente desconectados o tienen un número contable de componentes conectados.
• 2024: Robert Samuel Simon y Grzegorz Tomkowicz ^[28] introdujeron una regla de coloración de puntos en un espacio de Cantor que vincula las descomposiciones paradójicas con la optimización. Esto permite encontrar una aplicación de las descomposiciones paradójicas en economía.
• 2024: Grzegorz Tomkowicz ^[29] demostró que en el caso de grupos de Lie conexos no supramenables G que actúan de forma continua y transitiva en un espacio métrico, los conjuntos paradójicos G acotados son genéricos.

Véase también

• Paradoja de Hausdorff  – Paradoja en matemáticas
• Conjunto de Nikodym
• Paradojas de la teoría de conjuntos
• Problema de Tarski de la cuadratura del círculo  : Problema de cortar y volver a ensamblar un disco para formar un cuadrado
• Paradoja de von Neumann  – Teorema geométrico

Notas

1. Tao, Terence (2011). Introducción a la teoría de la medida (PDF) . pág. 3. Archivado desde el original (PDF) el 6 de mayo de 2021.
2. Carro, Corolario 13.3
3. Wilson, Trevor M. (septiembre de 2005). "Una versión de movimiento continuo de la paradoja de Banach-Tarski: una solución al problema de De Groot". Journal of Symbolic Logic . 70 (3): 946–952. CiteSeerX 10.1.1.502.6600 . doi :10.2178/jsl/1122038921. JSTOR  27588401. S2CID  15825008. 
4. Olivier, Leroy (1995). Teoría de la medida en los lugares regulares. ou: Las intersecciones ocultas en la paradoja de Banach-Tarski (Informe). arXiv : 1303.5631 .
5. Simpson, Alex (1 de noviembre de 2012). "Medida, aleatoriedad y sublocales". Anales de lógica pura y aplicada . 163 (11): 1642–1659. doi : 10.1016/j.apal.2011.12.014 . hdl : 20.500.11820/47f5df74-8a53-452a-88c0-d5489ee5d659 .
6. Banach, Stefan ; Tarski, Alfred (1924). "Sobre la descomposición de conjuntos de puntos en partidos respectivamente congruentes" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 6 : 244–277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
7. Robinson, Raphael M. (1947). "Sobre la descomposición de esferas". Fondo. Matemáticas . 34 : 246–260. doi : 10.4064/fm-34-1-246-260 .Este artículo, basado en un análisis de la paradoja de Hausdorff , resuelve una cuestión planteada por von Neumann en 1929:
8. Carro, Corolario 13.3
9. Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). "El teorema de Hahn-Banach implica la existencia de un conjunto medible no Lebesgue" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13–19. doi : 10.4064/fm-138-1-13-19 .
10. Pawlikowski, Janusz (1991). "El teorema de Hahn-Banach implica la paradoja de Banach-Tarski" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 138 : 21-22. doi : 10.4064/fm-138-1-21-22 .
11. Carro, pág. 16.
12. MEDIDAS INVARIAENTES, EXPANDIDORES Y PROPIEDAD T MAXIME BERGERON
13. Churkin, VA (2010). "Una versión continua de la paradoja de Hausdorff–Banach–Tarski". Álgebra y lógica . 49 (1): 81–89. doi :10.1007/s10469-010-9080-y. S2CID  122711859.El texto completo en ruso está disponible en la página Mathnet.ru.
14. En la pág. 85. Neumann, J. v. (1929). "Zur allgemeinen Theorie des Masses" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 13 : 73-116. doi : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
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17. Laczkovich, Miklós (1999). "Conjuntos paradójicos bajo SL ₂ ( R )". Ana. Univ. Ciencia. Budapest. Secta Eötvös. Matemáticas . 42 : 141-145.
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26. Tomkowicz, Grzegorz (2018). "Un grupo libre propiamente discontinuo de transformaciones afines". Geom. Dedicata . 197 : 91–95. doi :10.1007/s10711-018-0320-y. S2CID  126151042.
27. Mycielski, Jan; Tomkowicz, Grzegorz (2019). "Sobre la equivalencia de conjuntos de medidas iguales mediante descomposición contable". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 51 : 961–966. doi :10.1112/blms.12289. S2CID  209936338.
28. Simon, Robert; Tomkowicz, Grzegorz (2024). "Una paradoja de la teoría de la medida a partir de una regla de coloración continua". Matemáticas. Ann . 389 (2): 1441–1462. arXiv : 2203.11158 . doi :10.1007/s00208-023-02644-4.
29. Tomkowicz, Grzegorz (2024). "Sobre conjuntos paradójicos acotados y grupos de mentiras". Geom. Dedicata . 218 (3) 72. doi :10.1007/s10711-024-00923-1.

Referencias

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• Edward Kasner y James Newman (1940) Matemáticas e imaginación , págs. 205–7, Simon & Schuster .
• Stromberg, Karl (marzo de 1979). "La paradoja de Banach-Tarski". The American Mathematical Monthly . 86 (3). Asociación Matemática de América: 151–161. doi :10.2307/2321514. JSTOR  2321514.
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• Wagon, Stan (1994). La paradoja de Banach-Tarski . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1.
• Wapner, Leonard M. (2005). El guisante y el sol: una paradoja matemática . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN 1-56881-213-2.
• Tomkowicz, Grzegorz; Carro, Stan (2016). La paradoja de Banach-Tarski, segunda edición . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107042599.

Enlaces externos

• Paradoja de Banach-Tarski en ProofWiki
• La paradoja de Banach-Tarski por Stan Wagon ( Macalester College ), el Proyecto de demostraciones Wolfram .
• El cómic web Irregular Webcomic! #2339 de David Morgan-Mar ofrece una explicación no técnica de la paradoja. Incluye una demostración paso a paso de cómo crear dos esferas a partir de una.
• Vsauce (31 de julio de 2015). "La paradoja de Banach-Tarski" - vía YouTubeofrece una visión general de los conceptos básicos fundamentales de la paradoja.
• Banach-Tarski y la paradoja de la clonación infinita