Transformación rígida

Transformación matemática que preserva las distancias

En matemáticas , una transformación rígida (también llamada transformación euclidiana o isometría euclidiana ) es una transformación geométrica de un espacio euclidiano que preserva la distancia euclidiana entre cada par de puntos. ^{[1] [ fuente autopublicada ] [2] [3]}

Las transformaciones rígidas incluyen rotaciones , traslaciones , reflexiones o cualquier secuencia de estas. Las reflexiones a veces se excluyen de la definición de una transformación rígida al requerir que la transformación también preserve la lateralidad de los objetos en el espacio euclidiano. (Una reflexión no preservaría la lateralidad; por ejemplo, transformaría una mano izquierda en una mano derecha). Para evitar ambigüedades, una transformación que preserva la lateralidad se conoce como movimiento rígido , movimiento euclidiano o transformación rígida propia .

En la dimensión dos, un movimiento rígido es una traslación o una rotación . En la dimensión tres, todo movimiento rígido se puede descomponer como la composición de una rotación y una traslación, y por eso a veces se lo llama rototraslación . En la dimensión tres, todos los movimientos rígidos también son movimientos helicoidales (este es el teorema de Chasles ).

En dimensión tres como máximo, cualquier transformación rígida impropia puede descomponerse en una rotación impropia seguida de una traslación, o en una secuencia de reflexiones .

Cualquier objeto mantendrá la misma forma y tamaño después de una transformación rígida adecuada.

Todas las transformaciones rígidas son ejemplos de transformaciones afines . El conjunto de todas las transformaciones rígidas (propias e impropias) es un grupo matemático llamado grupo euclidiano , denotado E( n ) para espacios euclidianos de n dimensiones. El conjunto de movimientos rígidos se llama grupo euclidiano especial, y se denota SE( n ) .

En cinemática , los movimientos rígidos en un espacio euclidiano tridimensional se utilizan para representar desplazamientos de cuerpos rígidos . Según el teorema de Chasles , toda transformación rígida puede expresarse como un movimiento helicoidal .

Definición formal

Una transformación rígida se define formalmente como una transformación que, al actuar sobre cualquier vector v , produce un vector transformado T ( v ) de la forma

T ( v ) = Rv + t

donde R ^T = R ⁻¹ (es decir, R es una transformación ortogonal ), y t es un vector que da la traslación del origen.

Una transformación rígida adecuada tiene, además,

det (R) = 1

lo que significa que R no produce una reflexión y, por lo tanto, representa una rotación (una transformación ortogonal que preserva la orientación). De hecho, cuando una matriz de transformación ortogonal produce una reflexión, su determinante es −1.

Fórmula de distancia

Se necesita una medida de distancia entre puntos, o métrica , para confirmar que una transformación es rígida. La fórmula de la distancia euclidiana para R ⁿ es la generalización del teorema de Pitágoras . La fórmula da la distancia al cuadrado entre dos puntos X e Y como la suma de los cuadrados de las distancias a lo largo de los ejes de coordenadas, es decir, donde X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) e Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n ) , y el punto denota el producto escalar . $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$

Utilizando esta fórmula de distancia, una transformación rígida g  : R ⁿ → R ⁿ tiene la propiedad, $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

Traslaciones y transformaciones lineales

Una traslación de un espacio vectorial agrega un vector d a cada vector en el espacio, lo que significa que es la transformación

g ( v ) = v + d .

Es fácil demostrar que se trata de una transformación rígida mostrando que la distancia entre los vectores trasladados es igual a la distancia entre los vectores originales: $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

Una transformación lineal de un espacio vectorial, L  : R ⁿ → R ⁿ , conserva las combinaciones lineales . Una transformación lineal L se puede representar mediante una matriz, lo que significa $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$

L  : v → [ L ] v ,

donde [ L ] es una matriz n × n .

Una transformación lineal es una transformación rígida si satisface la condición, es decir Ahora use el hecho de que el producto escalar de dos vectores v . w se puede escribir como la operación matricial v ^T w , donde T denota la matriz transpuesta, tenemos Por lo tanto, la transformación lineal L es rígida si su matriz satisface la condición donde [ I ] es la matriz identidad. Las matrices que satisfacen esta condición se denominan matrices ortogonales. Esta condición en realidad requiere que las columnas de estas matrices sean vectores unitarios ortogonales. $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$ $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$ $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$$ $${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$

Las matrices que satisfacen esta condición forman un grupo matemático bajo la operación de multiplicación de matrices llamado grupo ortogonal de matrices n×n y denotado O ( n ) .

Calcule el determinante de la condición para una matriz ortogonal para obtener lo que muestra que la matriz [ L ] puede tener un determinante de +1 o −1. Las matrices ortogonales con determinante −1 son reflexiones, y aquellas con determinante +1 son rotaciones. Observe que el conjunto de matrices ortogonales puede verse como compuesto por dos variedades en R ^{n × n} separadas por el conjunto de matrices singulares. $${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$

El conjunto de matrices de rotación se denomina grupo ortogonal especial y se denota SO( n ) . Es un ejemplo de grupo de Lie porque tiene la estructura de una variedad.

Véase también

• Deformación (mecánica)
• Movimiento (geometría)

Referencias

1. O. Bottema y B. Roth (1990). Cinemática teórica. Publicaciones de Dover. ISBN. 0-486-66346-9.
2. JM McCarthy (2013). Introducción a la cinemática teórica. MDA Press.
3. Galarza, Ana Irene Ramírez; Seade, José (2007), Introducción a las geometrías clásicas , Birkhauser