En matemáticas , la paradoja de von Neumann , llamada así por John von Neumann , es la idea de que se puede descomponer una figura plana como el cuadrado unitario en conjuntos de puntos y someter cada conjunto a una transformación afín que preserve el área de modo que el resultado sean dos figuras planas del mismo tamaño que la original. Esto fue demostrado en 1929 por John von Neumann , asumiendo el axioma de elección . Se basa en la paradoja de Banach-Tarski anterior , que a su vez se basa en la paradoja de Hausdorff .
Banach y Tarski habían demostrado que, mediante transformaciones isométricas , el resultado de desmontar y volver a montar una figura bidimensional tendría necesariamente la misma área que la original. Esto haría imposible crear dos cuadrados unitarios a partir de uno. Pero von Neumann se dio cuenta de que el truco de las denominadas descomposiciones paradójicas era el uso de un grupo de transformaciones que incluyen como subgrupo un grupo libre con dos generadores . El grupo de transformaciones que preservan el área (ya sea el grupo lineal especial o el grupo afín especial ) contiene dichos subgrupos, y esto abre la posibilidad de realizar descomposiciones paradójicas utilizándolos.
La siguiente es una descripción informal del método encontrado por von Neumann. Supongamos que tenemos un grupo libre H de transformaciones lineales que preservan el área generadas por dos transformaciones, σ y τ, que no están lejos del elemento identidad. Ser un grupo libre significa que todos sus elementos pueden expresarse de manera única en la forma para algún n , donde s y s son todos enteros distintos de cero, excepto posiblemente el primero y el último . Podemos dividir este grupo en dos partes: aquellas que comienzan a la izquierda con σ elevado a alguna potencia distinta de cero (llamamos a este conjunto A ) y aquellas que comienzan con τ elevado a alguna potencia (es decir, es cero; llamamos a este conjunto B , e incluye la identidad).
Si operamos sobre cualquier punto del 2-espacio euclidiano por los diversos elementos de H obtenemos lo que se llama la órbita de ese punto. Todos los puntos del plano pueden clasificarse así en órbitas, de las que hay un número infinito con la cardinalidad del continuo . Utilizando el axioma de elección , podemos elegir un punto de cada órbita y llamar al conjunto de estos puntos M. Excluimos el origen, que es un punto fijo en H. Si luego operamos sobre M por todos los elementos de H , generamos cada punto del plano (excepto el origen) exactamente una vez. Si operamos sobre M por todos los elementos de A o de B , obtenemos dos conjuntos disjuntos cuya unión son todos los puntos excepto el origen.
Ahora tomamos una figura como el cuadrado unidad o el disco unidad. Luego elegimos otra figura totalmente dentro de ella, como un cuadrado más pequeño, centrado en el origen. Podemos cubrir la figura grande con varias copias de la figura pequeña, aunque con algunos puntos cubiertos por dos o más copias. Luego podemos asignar cada punto de la figura grande a una de las copias de la figura pequeña. Llamemos a los conjuntos correspondientes a cada copia . Ahora haremos una aplicación uno a uno de cada punto en la figura grande a un punto en su interior, utilizando solo transformaciones que preservan el área. Tomamos los puntos que pertenecen a y los trasladamos de modo que el centro del cuadrado esté en el origen. Luego tomamos aquellos puntos en él que están en el conjunto A definido anteriormente y operamos sobre ellos mediante la operación de preservación de área σ τ. Esto los pone en el conjunto B . Luego tomamos los puntos que pertenecen a B y operamos sobre ellos con σ 2 . Ahora seguirán estando en B , pero el conjunto de estos puntos será disjunto del conjunto anterior. Procedemos de esta manera, utilizando σ 3 τ sobre los puntos A de C 2 (después de centrarlo) y σ 4 sobre sus puntos B , y así sucesivamente. De esta manera, hemos mapeado todos los puntos de la figura grande (excepto algunos puntos fijos) de manera biunívoca a puntos de tipo B no muy alejados del centro, y dentro de la figura grande. Podemos entonces hacer un segundo mapeo a puntos de tipo A.
En este punto podemos aplicar el método del teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder . Este teorema nos dice que si tenemos una inyección del conjunto D al conjunto E (como de la figura grande a los puntos de tipo A en ella), y una inyección de E a D (como la aplicación de identidad de los puntos de tipo A en la figura a sí mismos), entonces hay una correspondencia uno a uno entre D y E. En otras palabras, teniendo una aplicación de la figura grande a un subconjunto de los puntos A en ella, podemos hacer una aplicación (una biyección) de la figura grande a todos los puntos A en ella. (En algunas regiones los puntos se asignan a sí mismos, en otras se asignan utilizando la aplicación descrita en el párrafo anterior). Del mismo modo, podemos hacer una aplicación de la figura grande a todos los puntos B en ella. Así que, mirando esto al revés, podemos separar la figura en sus puntos A y B , y luego asignar cada uno de estos de nuevo a la figura completa (es decir, que contiene ambos tipos de puntos).
Este boceto pasa por alto algunas cuestiones, como la forma de manejar puntos fijos. Resulta que se necesitan más asignaciones y más conjuntos para solucionar este problema.
La paradoja del cuadrado se puede reforzar de la siguiente manera:
Esto tiene consecuencias en lo que respecta al problema de la medida. Como señala von Neumann:
Para explicar esto un poco más, la cuestión de si existe una medida finitamente aditiva, que se conserva bajo ciertas transformaciones, depende de qué transformaciones se permitan. La medida de Banach de los conjuntos en el plano, que se conserva mediante traslaciones y rotaciones, no se conserva mediante transformaciones no isométricas incluso cuando sí conservan el área de los polígonos. Como se explicó anteriormente, los puntos del plano (excepto el origen) se pueden dividir en dos conjuntos densos que podemos llamar A y B . Si los puntos A de un polígono dado se transforman mediante una determinada transformación que preserva el área y los puntos B mediante otra, ambos conjuntos pueden convertirse en subconjuntos de los puntos B en dos nuevos polígonos. Los nuevos polígonos tienen la misma área que el antiguo polígono, pero los dos conjuntos transformados no pueden tener la misma medida que antes (ya que contienen solo una parte de los puntos B ) y, por lo tanto, no hay ninguna medida que "funcione".
La clase de grupos aislada por von Neumann en el curso del estudio del fenómeno de Banach-Tarski resultó ser muy importante para muchas áreas de las matemáticas: se trata de grupos dóciles o grupos con una media invariante, e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos resolubles . En términos generales, las descomposiciones paradójicas surgen cuando el grupo utilizado para las equivalencias en la definición de equidescomponibilidad no es dócil.
El artículo de von Neumann dejó abierta la posibilidad de una descomposición paradójica del interior del cuadrado unitario con respecto al grupo lineal SL (2, R ) (Wagon, Pregunta 7.4). En 2000, Miklós Laczkovich demostró que tal descomposición existe. [2] Más precisamente, sea A la familia de todos los subconjuntos acotados del plano con interior no vacío y a una distancia positiva del origen, y B la familia de todos los conjuntos planares con la propiedad de que una unión de un número finito de traslaciones bajo algunos elementos de SL (2, R ) contiene un vecindario perforado del origen. Entonces todos los conjuntos en la familia A son SL (2, R )-equidescomponibles, y lo mismo para los conjuntos en B . Se deduce que ambas familias consisten en conjuntos paradójicos.
