Andrew Mattei Gleason (1921-2008) fue un matemático estadounidense que hizo contribuciones fundamentales en áreas muy variadas de las matemáticas, incluida la solución del quinto problema de Hilbert , y fue un líder en reforma e innovación en la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles. [4] [5] El teorema de Gleason en lógica cuántica y el gráfico de Greenwood-Gleason , un ejemplo importante en la teoría de Ramsey , llevan su nombre.
Como joven oficial naval de la Segunda Guerra Mundial, Gleason rompió los códigos militares alemanes y japoneses. Después de la guerra, pasó toda su carrera académica en la Universidad de Harvard , de la que se retiró en 1992. Sus numerosos puestos de liderazgo académico y académico incluyeron la presidencia del Departamento de Matemáticas de Harvard y de la Sociedad de Becarios de Harvard , y la presidencia de la Sociedad Matemática Estadounidense . Continuó asesorando al gobierno de los Estados Unidos sobre seguridad criptográfica y a la Commonwealth de Massachusetts sobre educación matemática para niños, casi hasta el final de su vida.
Gleason ganó el Premio Newcomb Cleveland en 1952 y el Premio al Servicio Distinguido Gung-Hu de la Sociedad Matemática Estadounidense en 1996. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias y de la Sociedad Filosófica Estadounidense , y ocupó la Cátedra Hollis de Matemáticas y Ciencias Naturales. Filosofía en Harvard.
Le gustaba decir que las pruebas matemáticas "realmente no están ahí para convencerte de que algo es cierto", sino para mostrarte por qué es cierto. [6] Los Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense lo llamaron "uno de los gigantes silenciosos de las matemáticas del siglo XX, el profesor consumado dedicado a la erudición, la enseñanza y el servicio en igual medida". [7]
Gleason nació el 4 de noviembre de 1921 en Fresno, California , el menor de tres hermanos; su padre Henry Gleason era botánico y miembro de la Sociedad Mayflower , y su madre era hija del enólogo suizo-estadounidense Andrew Mattei . [6] [8] Su hermano mayor, Henry Jr., se convirtió en lingüista. [9] Creció en Bronxville, Nueva York , donde su padre era el curador del Jardín Botánico de Nueva York . [6] [8]
Después de asistir brevemente a Berkeley High School (Berkeley, California) [4] se graduó de Roosevelt High School en Yonkers, ganando una beca para la Universidad de Yale . [6] Aunque la educación matemática de Gleason había llegado sólo hasta cierto punto de cálculo autodidacta, el matemático de Yale William Raymond Longley lo instó a probar un curso de mecánica normalmente destinado a jóvenes.
Así que aprendí cálculo de primer año y cálculo de segundo año y me convertí en consultor de un extremo de todo el Antiguo Campus... Solía hacer todos los deberes de todas las secciones de [cálculo de primer año]. Obtuve mucha práctica resolviendo problemas de cálculo elemental. No creo que exista ningún problema—el tipo clásico de problema de pseudorealidad que se plantea a los estudiantes de primer y segundo año—que no haya visto. [6]
Un mes después, también se inscribió en un curso de ecuaciones diferenciales ("en su mayoría lleno de personas mayores"). Cuando Einar Hille reemplazó temporalmente al instructor habitual, Gleason encontró el estilo de Hille "increíblemente diferente... Tenía una visión de las matemáticas que era muy diferente... Esa fue una experiencia muy importante para mí. Así que después de eso tomé muchas cursos de Hille", incluido, en su segundo año, análisis real a nivel de posgrado. "A partir de ese curso con Hille, comencé a tener una idea de lo que son las matemáticas". [6]
Mientras estuvo en Yale, compitió tres veces (1940, 1941 y 1942) en el recientemente fundado Concurso de Matemáticas William Lowell Putnam , ubicándose siempre entre los cinco primeros participantes del país (lo que lo convirtió en el segundo Putnam Fellow en tres ocasiones ). [10]
Después de que los japoneses atacaron Pearl Harbor durante su último año, Gleason solicitó una comisión en la Marina de los EE. UU. [11] y al graduarse se unió al equipo que trabajaba para romper los códigos navales japoneses . [6] (Otros en este equipo incluyeron a su futuro colaborador Robert E. Greenwood y al profesor de Yale Marshall Hall Jr. ) [11] También colaboró con investigadores británicos que atacaban el cifrado alemán Enigma ; Alan Turing , que pasó mucho tiempo con Gleason durante su visita a Washington, lo llamó "el joven y brillante matemático graduado de Yale" en un informe de su visita. [11]
En 1946, por recomendación de su colega de la Marina Donald Howard Menzel , Gleason fue nombrado Junior Fellow en Harvard. Uno de los primeros objetivos del programa Junior Fellows era permitir que jóvenes académicos que mostraran una promesa extraordinaria eludieran el largo proceso de doctorado; cuatro años más tarde, Harvard nombró a Gleason profesor asistente de matemáticas, [6] aunque casi inmediatamente lo llamaron a Washington para realizar trabajos criptográficos relacionados con la Guerra de Corea . [6] Regresó a Harvard en el otoño de 1952 y poco después publicó el más importante de sus resultados sobre el quinto problema de Hilbert (ver más abajo). Harvard le otorgó la titularidad al año siguiente. [6] [12] [A]
En enero de 1959 se casó con Jean Berko [6] a quien había conocido en una fiesta con la música de Tom Lehrer . [8] Berko, psicolingüista , trabajó durante muchos años en la Universidad de Boston . [12] Tuvieron tres hijas.
En 1969, Gleason ocupó la Cátedra Hollis de Matemáticas y Filosofía Natural . Establecida en 1727, esta es la cátedra científica más antigua de los EE. UU. [4] [13] Se retiró de Harvard en 1992, pero permaneció activo al servicio de Harvard (como presidente de la Sociedad de Becarios , por ejemplo) [14] y de las matemáticas: en particular, promoviendo el Proyecto de Reforma del Cálculo de Harvard [15] y trabajar con la Junta de Educación de Massachusetts . [dieciséis]
Murió el 17 de octubre de 2008 por complicaciones posteriores a la cirugía. [4] [5]
Gleason dijo que "siempre disfrutó ayudar a otras personas con matemáticas"; un colega dijo que "consideraba enseñar matemáticas—como hacer matemáticas—como algo importante y también genuinamente divertido". A los catorce años, durante su breve asistencia a Berkeley High School, no sólo se aburrió de la geometría del primer semestre, sino que también ayudó a otros estudiantes con sus tareas, incluidos los que tomaban la segunda mitad del curso, que pronto comenzó a auditar. [6] [17]
En Harvard "enseñó regularmente en todos los niveles", [15] incluidos cursos multisección administrativamente onerosos. Una clase le obsequió a Gleason una impresión enmarcada de la Madre y el niño de Picasso en reconocimiento a su cuidado por ellos. [18]
En 1964 creó "el primero de los cursos 'puente' ahora omnipresentes para los estudiantes de matemáticas, sólo veinte años antes de su tiempo". [15] Un curso de este tipo está diseñado para enseñar a los nuevos estudiantes, acostumbrados al aprendizaje de memoria de las matemáticas en la escuela secundaria, cómo razonar de manera abstracta y construir demostraciones matemáticas. [19] Ese esfuerzo condujo a la publicación de sus Fundamentos del análisis abstracto , del cual un crítico escribió:
Este es un libro de lo más inusual... Todo matemático en activo, por supuesto, conoce la diferencia entre una cadena sin vida de proposiciones formalizadas y la "sensación" que uno tiene (o intenta tener) de una teoría matemática, y probablemente estará de acuerdo en que ayudar al estudiante alcanzar esa visión "interna" es el objetivo final de la educación matemática; pero normalmente abandonará cualquier intento de lograrlo excepto mediante la enseñanza oral. La originalidad del autor es que ha intentado alcanzar ese objetivo en un libro de texto y, en opinión del crítico, ha tenido un éxito notable en esta tarea casi imposible. La mayoría de los lectores probablemente estarán encantados (como lo estuvo el crítico) de encontrar, página tras página, discusiones y explicaciones minuciosas de procedimientos matemáticos y lógicos estándar, siempre escritas en el estilo más feliz, que no escatima esfuerzos para lograr la máxima claridad sin caer. en la vulgaridad que tan a menudo estropea tales intentos. [17]
Pero el "talento para la exposición" de Gleason no siempre implicó que el lector sería iluminado sin su propio esfuerzo. Incluso en un memorando de guerra sobre el urgentemente importante descifrado del cifrado alemán Enigma, Gleason y sus colegas escribieron:
El lector puede preguntarse por qué se deja tanto en manos del lector. Puede ser agradable leer un libro sobre brazadas de natación, pero hay que practicar las brazadas mientras se está en el agua antes de poder afirmar que se es nadador. Entonces, si el lector realmente desea poseer el conocimiento para recuperar cableado desde una profundidad , déjele tomar papel y lápices, usando quizás cuatro colores para evitar confusión en los enlaces de conexión, y ponerse a trabajar. [17]
Sus notas y ejercicios sobre probabilidad y estadística, elaborados para sus conferencias ante colegas descifradores de códigos durante la guerra (ver más abajo), se siguieron utilizando en la formación de la Agencia de Seguridad Nacional durante varias décadas; fueron publicados abiertamente en 1985. [17]
En un artículo de Science de 1964 , Gleason escribió sobre una aparente paradoja que surge en los intentos de explicar las matemáticas a los no matemáticos:
Es notoriamente difícil transmitir la impresión adecuada de las fronteras de las matemáticas a los no especialistas. En última instancia, la dificultad surge del hecho de que las matemáticas son una materia más fácil que las otras ciencias. En consecuencia, muchos de los problemas primarios importantes del tema—es decir, problemas que pueden ser entendidos por un externo inteligente—han sido resueltos o llevados a un punto en el que claramente se requiere un enfoque indirecto. La mayor parte de la investigación matemática pura se ocupa de problemas secundarios, terciarios o de orden superior, cuyo planteamiento difícilmente puede entenderse hasta que se haya dominado una gran cantidad de matemáticas técnicas. [20]
Gleason fue el primer presidente del comité asesor del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares , que ayudó a definir las Nuevas Matemáticas de la década de 1960: cambios ambiciosos en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas primarias y secundarias estadounidenses que enfatizan la comprensión de los conceptos sobre los algoritmos de memoria. Gleason "siempre estuvo interesado en cómo aprende la gente"; Como parte del esfuerzo de New Math, pasó la mayor parte de las mañanas durante varios meses con niños de segundo grado. Algunos años más tarde dio una charla en la que describió su objetivo como:
para descubrir cuánto podrían descubrir por sí mismos, con las actividades adecuadas y la orientación adecuada. Al final de su charla, alguien le preguntó a Andy si alguna vez le había preocupado que enseñar matemáticas a niños pequeños no fuera la forma en que los profesores de las instituciones de investigación deberían dedicar su tiempo. [Su] respuesta rápida y decisiva: "No, no pensé en eso en absoluto. ¡Me lo pasé genial!" [17]
En 1986 ayudó a fundar el Calculus Consortium, que ha publicado una serie exitosa e influyente de libros de texto de "reforma del cálculo" para la universidad y la escuela secundaria, sobre precálculo, cálculo y otras áreas. Su "credo para este programa, como para toda su enseñanza, era que las ideas debían basarse en partes iguales de geometría para la visualización de los conceptos, cálculo para la conexión a tierra en el mundo real y manipulación algebraica para el poder". [12] Sin embargo, el programa enfrentó fuertes críticas por parte de la comunidad matemática por su omisión de temas como el teorema del valor medio , [21] y por su percibida falta de rigor matemático. [22] [23] [24]
Durante la Segunda Guerra Mundial, Gleason formó parte del OP-20-G , el grupo de criptoanálisis e inteligencia de señales de la Marina de los EE. UU. [11] Una tarea de este grupo, en colaboración con criptógrafos británicos en Bletchley Park como Alan Turing , era penetrar las redes de comunicaciones de las máquinas Enigma alemanas . Los británicos tuvieron un gran éxito con dos de estas redes, pero la tercera, utilizada para la coordinación naval germano-japonesa, permaneció intacta debido a la suposición errónea de que empleaba una versión simplificada de Enigma. Después de que Marshall Hall del OP-20-G observara que ciertos metadatos en las transmisiones de Berlín a Tokio utilizaban conjuntos de letras independientes de los utilizados en los metadatos de Tokio a Berlín, Gleason planteó la hipótesis de que los correspondientes conjuntos de letras no cifradas eran AM (en una dirección) y NZ (en el otro), ideó entonces novedosas pruebas estadísticas mediante las cuales confirmó esta hipótesis. El resultado fue el descifrado rutinario de esta tercera red en 1944. (Este trabajo también involucró matemáticas más profundas relacionadas con los grupos de permutación y el problema del isomorfismo gráfico ).
OP-20-G luego recurrió al cifrado "Coral" de la marina japonesa. Una herramienta clave para el ataque a Coral fue la "muleta de Gleason", una forma de Chernoff ligada a distribuciones de cola de sumas de variables aleatorias independientes. El trabajo clasificado de Gleason sobre este ámbito es anterior al trabajo de Chernoff en una década. [11]
Hacia el final de la guerra se concentró en documentar el trabajo del OP-20-G y desarrollar sistemas para entrenar nuevos criptógrafos. [11]
En 1950, Gleason regresó al servicio activo para la Guerra de Corea , sirviendo como teniente comandante en el Complejo de la Avenida Nebraska (que mucho más tarde se convirtió en el hogar de la División de Seguridad Cibernética del DHS ). Su trabajo criptográfico de este período permanece clasificado, pero se sabe que reclutó matemáticos y les enseñó criptoanálisis. [11] Formó parte de los consejos asesores de la Agencia de Seguridad Nacional y del Instituto de Análisis de Defensa , y continuó reclutando y asesorando a los militares sobre criptoanálisis, casi hasta el final de su vida. [11]
Gleason hizo contribuciones fundamentales a áreas muy variadas de las matemáticas, incluida la teoría de los grupos de Lie , [1] la mecánica cuántica , [18] y la combinatoria . [25] Según la famosa clasificación de Freeman Dyson de los matemáticos como pájaros o ranas, [26] Gleason era una rana: trabajaba más como un solucionador de problemas que como un visionario formulando grandes teorías. [7]
En 1900, David Hilbert planteó 23 problemas que , en su opinión, serían fundamentales para el próximo siglo de investigación matemática. El quinto problema de Hilbert se refiere a la caracterización de los grupos de Lie por sus acciones en espacios topológicos : ¿hasta qué punto su topología proporciona información suficiente para determinar su geometría?
La versión "restringida" del quinto problema de Hilbert (resuelto por Gleason) pregunta, más específicamente, si todo grupo topológico localmente euclidiano es un grupo de Lie. Es decir, si un grupo G tiene la estructura de una variedad topológica , ¿se puede fortalecer esa estructura a una estructura analítica real , de modo que dentro de cualquier vecindad de un elemento de G , la ley del grupo esté definida por una serie de potencias convergentes, y así ¿Que las vecindades superpuestas tienen definiciones de series de potencias compatibles? Antes del trabajo de Gleason, LEJ Brouwer , John von Neumann , Lev Pontryagin y Garrett Birkhoff , entre otros, habían resuelto casos especiales del problema . [1] [27]
El interés de Gleason por el quinto problema comenzó a finales de la década de 1940, provocado por un curso que tomó de George Mackey . [6] En 1949 publicó un artículo en el que presentaba la propiedad de "subgrupos no pequeños" de los grupos de Lie (la existencia de una vecindad de la identidad dentro de la cual no existe ningún subgrupo no trivial) que eventualmente sería crucial para su solución. [1] Su artículo de 1952 sobre el tema, junto con un artículo publicado simultáneamente por Deane Montgomery y Leo Zippin , resuelve afirmativamente la versión restringida del quinto problema de Hilbert, mostrando que, de hecho, todo grupo localmente euclidiano es un grupo de Lie. [1] [27] La contribución de Gleason fue demostrar que esto es cierto cuando G tiene la propiedad de subgrupos no pequeños; Montgomery y Zippin demostraron que todos los grupos euclidianos locales tienen esta propiedad. [1] [27] Como Gleason contó la historia, la idea clave de su prueba fue aplicar el hecho de que las funciones monótonas son diferenciables en casi todas partes . [6] Al encontrar la solución, se tomó una semana de licencia para escribirla, y se imprimió en Annals of Mathematics junto con el artículo de Montgomery y Zippin; Otro artículo, un año después, de Hidehiko Yamabe eliminó algunas condiciones técnicas secundarias de la prueba de Gleason. [6] [B]
La versión "ilimitada" del quinto problema de Hilbert, más cercana a la formulación original de Hilbert, considera tanto un grupo localmente euclidiano G como otra variedad M sobre la cual G tiene una acción continua . Hilbert preguntó si, en este caso, a M y a la acción de G se les podría dar una estructura analítica real. Rápidamente se comprendió que la respuesta era negativa, tras lo cual la atención se centró en el problema restringido. [1] [27] Sin embargo, con algunos supuestos de suavidad adicionales en G y M , aún podría ser posible demostrar la existencia de una estructura analítica real en la acción grupal. [1] [27] La conjetura de Hilbert-Smith , aún sin resolver, resume las dificultades restantes de este caso. [28]
La regla de Born establece que una propiedad observable de un sistema cuántico está definida por un operador hermitiano en un espacio de Hilbert separable , que los únicos valores observables de la propiedad son los valores propios del operador y que la probabilidad de que el sistema sea observado en un El valor propio particular es el cuadrado del valor absoluto del número complejo obtenido al proyectar el vector de estado (un punto en el espacio de Hilbert) sobre el vector propio correspondiente. George Mackey había preguntado si la regla de Born es una consecuencia necesaria de un conjunto particular de axiomas de la mecánica cuántica y, más específicamente, si cada medida en la red de proyecciones de un espacio de Hilbert puede definirse mediante un operador positivo con traza unitaria . Aunque Richard Kadison demostró que esto era falso para espacios de Hilbert bidimensionales, el teorema de Gleason (publicado en 1957) muestra que es cierto para dimensiones superiores. [18]
El teorema de Gleason implica la inexistencia de ciertos tipos de teorías de variables ocultas para la mecánica cuántica, reforzando un argumento previo de John von Neumann . Von Neumann había afirmado haber demostrado que las teorías de variables ocultas eran imposibles, pero (como señaló Grete Hermann ) su demostración partía del supuesto de que los sistemas cuánticos obedecían a una forma de aditividad de expectativas para operadores no conmutantes que podría no cumplirse a priori. En 1966, John Stewart Bell demostró que el teorema de Gleason podía utilizarse para eliminar este supuesto adicional del argumento de von Neumann. [18]
El número de Ramsey R ( k , l ) es el número r más pequeño tal que cada gráfico con al menos r vértices contiene una camarilla de k -vértices o un conjunto independiente de l -vértice . Los números de Ramsey requieren un enorme esfuerzo para calcularlos; cuando max( k , l ) ≥ 3 sólo se conocen con precisión un número finito de ellos, y se cree que un cálculo exacto de R (6,6) está fuera de alcance. [29] En 1953, el cálculo de R (3,3) se planteó como cuestión en el Concurso de Putnam ; en 1955, motivados por este problema, [30] Gleason y su coautor Robert E. Greenwood lograron avances significativos en el cálculo de los números de Ramsey con su demostración de que R (3,4) = 9, R (3,5) = 14, y R (4,4) = 18. Desde entonces, sólo se han encontrado cinco valores más de estos. [31] En el mismo artículo de 1955, Greenwood y Gleason también calcularon el número de Ramsey multicolor R (3,3,3): el número más pequeño r tal que, si un gráfico completo en r vértices tiene sus bordes coloreados con tres colores, entonces contiene necesariamente un triángulo monocromático. Como demostraron, R (3,3,3) = 17; este sigue siendo el único número de Ramsey multicolor no trivial cuyo valor exacto se conoce. [31] Como parte de su prueba, utilizaron una construcción algebraica para demostrar que un gráfico completo de 16 vértices se puede descomponer en tres copias disjuntas de un gráfico de 5 regulares sin triángulos con 16 vértices y 40 aristas [25] [32 ] (a veces llamado gráfico de Greenwood-Gleason ). [33]
Ronald Graham escribe que el artículo de Greenwood y Gleason "es ahora reconocido como un clásico en el desarrollo de la teoría de Ramsey". [30] A finales de la década de 1960, Gleason se convirtió en el asesor doctoral de Joel Spencer , quien también se hizo conocido por sus contribuciones a la teoría de Ramsey. [25] [34]
Gleason publicó pocas contribuciones a la teoría de la codificación , pero fueron influyentes [25] e incluyeron "muchas de las ideas fundamentales y los primeros resultados" de la teoría de la codificación algebraica. [35] Durante las décadas de 1950 y 1960, asistió a reuniones mensuales sobre teoría de codificación con Vera Pless y otros en el Laboratorio de Investigación de Cambridge de la Fuerza Aérea. [36] Pless, que había trabajado anteriormente en álgebra abstracta pero se convirtió en uno de los principales expertos del mundo en teoría de codificación durante este tiempo, escribe que "estas reuniones mensuales eran para lo que vivía". Con frecuencia le planteaba sus problemas matemáticos a Gleason y a menudo era recompensada con una respuesta rápida y reveladora. [25]
El teorema de Gleason-Prange lleva el nombre del trabajo de Gleason con el investigador de AFCRL Eugene Prange ; fue publicado originalmente en un informe de investigación de la AFCRL de 1964 por HF Mattson Jr. y EF Assmus Jr. Se trata del código de residuo cuadrático de orden n , ampliado agregando un único bit de verificación de paridad. Este "notable teorema" [37] muestra que este código es altamente simétrico, teniendo el grupo lineal proyectivo PSL 2 ( n ) como un subgrupo de sus simetrías. [25] [37]
Gleason es el homónimo de los polinomios de Gleason, un sistema de polinomios que generan los enumeradores de peso de códigos lineales . [25] [38] Estos polinomios toman una forma particularmente simple para códigos autoduales : en este caso solo hay dos, los dos polinomios bivariados x 2 + y 2 y x 8 + 14 x 2 y 2 + y 8 . [25] La alumna de Gleason, Jessie MacWilliams, continuó el trabajo de Gleason en esta área, demostrando una relación entre los enumeradores de peso de los códigos y sus duales que se conoce como la identidad de MacWilliams . [25]
En esta área, también realizó un trabajo pionero en matemáticas experimentales , realizando experimentos informáticos en 1960. Este trabajo estudió la distancia promedio a una palabra en clave, para un código relacionado con el juego de conmutación de Berlekamp . [12] [39]
Gleason fundó la teoría de las álgebras de Dirichlet , [40] e hizo otras contribuciones matemáticas, incluido el trabajo sobre geometría finita [41] y sobre la combinatoria enumerativa de permutaciones . [7] (En 1959 escribió que sus "actividades adicionales" de investigación incluían "un intenso interés en problemas combinatorios"). [3] Además, no dudó en publicar investigaciones en matemáticas más elementales, como la derivación del conjunto de polígonos que se pueden construir con compás, regla y trisector de ángulos . [7]
En 1952, Gleason recibió el premio Newcomb Cleveland de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia [42] por su trabajo sobre el quinto problema de Hilbert . [3] Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias y de la Sociedad Filosófica Estadounidense , fue miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias , [6] [12] y perteneció a la Société Mathématique de France . [3]
En 1981 y 1982 fue presidente de la Sociedad Matemática Estadounidense , [6] y en varias ocasiones ocupó muchos otros puestos en organizaciones profesionales y académicas, incluida la presidencia del Departamento de Matemáticas de Harvard. [43] En 1986 presidió el comité organizador del Congreso Internacional de Matemáticos en Berkeley, California , y fue presidente del Congreso. [dieciséis]
En 1996, la Sociedad de Becarios de Harvard celebró un simposio especial en honor a Gleason por su jubilación después de siete años como presidente; [14] ese mismo año, la Asociación de Matemáticas de América le otorgó el Premio al Servicio Distinguido en Matemáticas Yueh-Gin Gung y Dr. Charles Y. Hu. [44] Un ex presidente de la Asociación escribió:
Al pensar y admirar la carrera de Andy Gleason, la referencia natural es la profesión total de un matemático: diseñar e impartir cursos, asesorar sobre educación en todos los niveles, realizar investigaciones, asesorar a los usuarios de las matemáticas, actuar como líder de la profesión, cultivar el talento matemático y servir a la propia institución. Andy Gleason es ese raro individuo que ha hecho todo esto de manera magnífica. [dieciséis]
Después de su muerte, una colección de ensayos de 32 páginas en Notices of the American Mathematical Society recordó "la vida y obra de [este] eminente matemático estadounidense", [45] llamándolo "uno de los gigantes silenciosos de las matemáticas del siglo XX". el profesor consumado dedicado a la erudición, la enseñanza y el servicio en igual medida." [7]
