Anillo local

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , los anillos locales son ciertos anillos que son comparativamente simples, y sirven para describir lo que se llama "comportamiento local", en el sentido de funciones definidas sobre variedades o variedades algebraicas , o de campos numéricos algebraicos examinados en un lugar particular , o principal. El álgebra local es la rama del álgebra conmutativa que estudia los anillos locales conmutativos y sus módulos .

En la práctica, un anillo local conmutativo a menudo surge como resultado de la localización de un anillo en un ideal primo .

El concepto de anillos locales fue introducido por Wolfgang Krull en 1938 con el nombre de Stellenringe . ^[1] El término inglés local ring se debe a Zariski . ^[2]

Definición y primeras consecuencias

Un anillo R es un anillo local si tiene cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:

R tiene un ideal máximo izquierdo único .
R tiene un ideal máximo derecho único.
1 ≠ 0 y la suma de dos no unidades cualesquiera en R es una no unidad.
1 ≠ 0 y si x es cualquier elemento de R , entonces x o 1 − x es una unidad.
Si una suma finita es una unidad, entonces tiene un término que es una unidad (esto dice en particular que la suma vacía no puede ser una unidad, por lo que implica 1 ≠ 0).

Si estas propiedades se mantienen, entonces el ideal máximo único izquierdo coincide con el ideal máximo único derecho y con el radical de Jacobson del anillo . La tercera de las propiedades enumeradas anteriormente dice que el conjunto de no unidades en un anillo local forma un ideal (propio), ^[3] necesariamente contenido en el radical de Jacobson. La cuarta propiedad se puede parafrasear de la siguiente manera: un anillo R es local si y sólo si no existen dos ideales coprimos propios ( principales ) (izquierda), donde dos ideales I ₁ , I ₂ se llaman coprimos si R = I ₁ + Yo ₂ .

En el caso de los anillos conmutativos , no es necesario distinguir entre ideales izquierdo, derecho y bilateral: un anillo conmutativo es local si y sólo si tiene un ideal máximo único. Antes de 1960, aproximadamente, muchos autores exigían que un anillo local fuera (izquierdo y derecho) noetheriano , y los anillos locales (posiblemente no noetherianos) se llamaban anillos cuasilocales . En este artículo no se impone este requisito.

Un anillo local que es un dominio integral se llama dominio local .

Ejemplos

Todos los campos (y los campos sesgados ) son anillos locales, ya que {0} es el único ideal máximo en estos anillos.
El anillo es un anillo local ( $p$ primo, $n$ $\geq 1$ ). El ideal máximo único consta de todos los múltiplos de $p$ . $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$
De manera más general, un anillo distinto de cero en el que cada elemento es una unidad o nilpotente es un anillo local.
Una clase importante de anillos locales son los anillos de valoración discretos , que son dominios ideales principales locales que no son campos.
El anillo , cuyos elementos son series infinitas donde las multiplicaciones están dadas por tal que , es local. Su ideal máximo único consta de todos los elementos que no son invertibles. En otras palabras, consta de todos los elementos con término constante cero. $\mathbb {C} [[x]]$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i} )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
De manera más general, todo anillo de series de potencias formales sobre un anillo local es local; el ideal máximo consta de aquellas series de potencias con término constante en el ideal máximo del anillo base.
De manera similar, el álgebra de números duales sobre cualquier cuerpo es local. De manera más general, si F es un anillo local y n es un entero positivo, entonces el anillo cociente F [ X ]/( X ⁿ ) es local con un ideal máximo que consta de las clases de polinomios con término constante que pertenecen al ideal máximo de F , ya que se puede utilizar una serie geométrica para invertir todos los demás polinomios módulo X ⁿ . Si F es un campo, entonces los elementos de F [ X ]/( X ⁿ ) son nilpotentes o invertibles . (Los números duales sobre F corresponden al caso n = 2 ).
Los anillos de cociente distinto de cero de los anillos locales son locales.
El anillo de números racionales con denominador impar es local; su ideal máximo consiste en las fracciones con numerador par y denominador impar. Son los números enteros localizados en 2.
De manera más general, dado cualquier anillo conmutativo R y cualquier ideal primo P de R , la localización de R en P es local; el ideal máximo es el ideal generado por P en esta localización; es decir, el ideal máximo consta de todos los elementos a / s con a ∈ P y s ∈ R - P .

No ejemplos

El anillo de polinomios sobre un campo no es local, ya que y no son unidades, pero su suma es una unidad. $K[x]$ $K$ $x$ $1-x$
El anillo de números enteros no es local ya que tiene un ideal máximo para cada primo . $\mathbb {Z}$ $(p)$ $p$
$\mathbb {Z}$ /( pq ) , donde p y q son números primos distintos. Tanto ( p ) como ( q ) son ideales máximos aquí. $\mathbb {Z}$

Anillo de gérmenes

Para motivar el nombre "local" de estos anillos, consideramos funciones continuas de valor real definidas en algún intervalo abierto alrededor de 0 de la línea real . Sólo estamos interesados en el comportamiento de estas funciones cerca de 0 (su "comportamiento local") y, por lo tanto, identificaremos dos funciones si coinciden en algún intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) alrededor de 0. Esta identificación define una relación de equivalencia , y la Las clases de equivalencia son lo que se denominan " gérmenes de funciones continuas de valor real en 0". Estos gérmenes se pueden sumar y multiplicar y formar un anillo conmutativo.

Para ver que este anillo de gérmenes es local, necesitamos caracterizar sus elementos invertibles. Un germen f es invertible si y sólo si f (0) ≠ 0 . La razón: si f (0) ≠ 0 , entonces por continuidad hay un intervalo abierto alrededor de 0 donde f es distinto de cero, y podemos formar la función g ( x ) = 1/ f ( x ) en este intervalo. La función g da lugar a un germen, y el producto de fg es igual a 1. (Por el contrario, si f es invertible, entonces existe algo de g tal que f (0) g (0) = 1, por lo tanto f (0) ≠ 0. )

Con esta caracterización, queda claro que la suma de dos gérmenes cualesquiera no invertibles tampoco es invertible y tenemos un anillo local conmutativo. El ideal máximo de este anillo consiste precisamente en aquellos gérmenes f con f (0) = 0 .

Exactamente los mismos argumentos funcionan para el anillo de gérmenes de funciones continuas con valores reales en cualquier espacio topológico en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en cualquier variedad diferenciable en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones racionales sobre cualquier variedad algebraica en un punto dado. Por tanto, todos estos anillos son locales. Estos ejemplos ayudan a explicar por qué los esquemas , las generalizaciones de variedades, se definen como espacios especiales anillados localmente .

Teoría de la valoración

Los anillos locales desempeñan un papel importante en la teoría de la valoración. Por definición, un anillo de valoración de un campo K es un subanillo R tal que para cada elemento x distinto de cero de K , al menos uno de x y x ⁻¹ está en R. Cualquier subanillo de este tipo será un anillo local. Por ejemplo, el anillo de números racionales con denominador impar (mencionado anteriormente) es un anillo de valoración en . $\mathbb {Q}$

Dado un campo K , que puede ser o no un campo funcional , podemos buscar anillos locales en él. Si K fuera realmente el campo funcional de una variedad algebraica V , entonces para cada punto P de V podríamos intentar definir un anillo de valoración R de funciones "definidas en " P. En los casos en que V tiene dimensión 2 o más existe una dificultad que se ve así: si F y G son funciones racionales sobre V con

F ( P ) = GRAMO ( P ) = 0,

la función

F / G

es una forma indeterminada en P . Considerando un ejemplo simple, como

Y / X ,

se acercó a lo largo de una línea

Y = tX ,

se ve que el valor en P es un concepto sin una definición simple. Se reemplaza mediante el uso de valoraciones.

No conmutativo

Los anillos locales no conmutativos surgen naturalmente como anillos de endomorfismo en el estudio de descomposiciones de suma directa de módulos sobre algunos otros anillos. Específicamente, si el anillo de endomorfismo del módulo M es local, entonces M es indescomponible ; por el contrario, si el módulo M tiene una longitud finita y es indescomponible, entonces su anillo de endomorfismo es local.

Si k es un cuerpo de característica p > 0 y G es un p -grupo finito , entonces el álgebra de grupos kG es local.

Algunos hechos y definiciones.

Caso conmutativo

También escribimos ( R , m ) para un anillo local conmutativo R con ideal máximo m . Cada uno de estos anillos se convierte en un anillo topológico de forma natural si se toman las potencias de m como una base de vecindad de 0. Esta es la topología m -ádica en R. Si ( R , m ) es un anillo local noetheriano conmutativo , entonces

\bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}

( Teorema de intersección de Krull ), y se deduce que R con la topología m -ádica es un espacio de Hausdorff . El teorema es una consecuencia del lema de Artin-Rees junto con el lema de Nakayama y, como tal, el supuesto "noetheriano" es crucial. De hecho, sea R el anillo de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables en 0 en la recta real y m sea el ideal máximo . Entonces una función distinta de cero pertenece a cualquier n , ya que esa función dividida por sigue siendo suave. $(x)$ $e^{-{1 \over x^{2}}}$ $m^{n}$ $x^{n}$

Como para cualquier anillo topológico, uno puede preguntarse si ( R , m ) es completo (como un espacio uniforme ); si no es así, se considera su finalización , nuevamente un anillo local. Los anillos locales noetherianos completos se clasifican mediante el teorema de estructura de Cohen .

En geometría algebraica, especialmente cuando R es el anillo local de un esquema en algún punto P , R / m se llama campo residual del anillo local o campo residual del punto P.

Si ( R , m ) y ( S , n ) son anillos locales, entonces un homomorfismo de anillo local de R a S es un homomorfismo de anillo f : R → S con la propiedad f ( m ) ⊆ n . [ ^4] Estos son precisamente los homomorfismos de anillo que son continuos con respecto a las topologías dadas en R y S. Por ejemplo, considere el envío de morfismo de anillo . La preimagen de es . Otro ejemplo de morfismo de anillo local lo da . $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4 })$ $x\mapsto x$ $(x,y)$ $(x)$ $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})$

Caso general

El radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al ideal único máximo izquierdo y también al único ideal máximo derecho) consiste precisamente en las no unidades del anillo; además, es el único ideal bilateral máximo de R . Sin embargo, en el caso no conmutativo, tener un ideal bilateral máximo único no equivale a ser local. ^[5]

Para un elemento x del anillo local R , lo siguiente es equivalente:

x tiene inversa izquierda
x tiene un inverso derecho
x es invertible
x no está en m .

Si ( R , m ) es local, entonces el anillo de factores R / m es un campo sesgado . Si J ≠ R es cualquier ideal bilateral en R , entonces el anillo factorial R / J es nuevamente local, con ideal máximo m / J .

Un teorema profundo de Irving Kaplansky dice que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es libre , aunque el caso en el que el módulo se genera de forma finita es un simple corolario del lema de Nakayama . Esto tiene una consecuencia interesante en términos de equivalencia de Morita . Es decir, si P es un módulo R proyectivo generado finitamente , entonces P es isomorfo al módulo libre R ⁿ y, por tanto, el anillo de endomorfismos es isomorfo al anillo completo de matrices . Dado que cada anillo de Morita equivalente al anillo local R tiene la forma de tal P , la conclusión es que los únicos anillos de Morita equivalentes a un anillo local R son (isomorfos a) los anillos de matriz sobre R. $\mathrm {Fin} _ {R}(P)$ $\mathrm {M} _ {n}(R)$ $\mathrm {Fin} _ {R}(P)$

Notas

^ Krull, Wolfgang (1938). "Teoría de las dimensiones en Stellenringen". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 1938 (179): 204. doi :10.1515/crll.1938.179.204. S2CID 115691729.
^ Zariski, Oscar (mayo de 1943). «Fundamentos de una Teoría General de Correspondencias Biracionales» (PDF) . Trans. América. Matemáticas. Soc . Sociedad Matemática Estadounidense. 53 (3): 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215.
^ Lam (2001), pág. 295, Thm. 19.1.
^ "Etiqueta 07BI".
^ Las matrices de 2 por 2 sobre un campo, por ejemplo, tienen un ideal máximo único {0}, pero tienen múltiples ideales máximos derecho e izquierdo.

Referencias

Lam, TY (2001). "Un primer curso en anillos no conmutativos" . Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . vol. 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Ver también

enlaces externos

La filosofía detrás de los anillos locales