Grado de un polinomio

Concepto matemático

En matemáticas , el grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios (términos individuales) del polinomio con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él, y por tanto es un número entero no negativo . Para un polinomio univariado , el grado del polinomio es simplemente el exponente más alto que se presenta en el polinomio. ^[1] El término orden se ha utilizado como sinónimo de grado pero, hoy en día, puede referirse a varios otros conceptos (ver Orden de un polinomio (desambiguación) ).

Por ejemplo, el polinomio que también se puede escribir tiene tres términos. El primer término tiene grado 5 (la suma de las potencias 2 y 3), el segundo término tiene grado 1 y el último término tiene grado 0. Por lo tanto, el polinomio tiene grado 5, que es el grado más alto de cualquier término. ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

Para determinar el grado de un polinomio que no está en forma estándar, como , se puede poner en forma estándar expandiendo los productos (por distributividad ) y combinando los términos semejantes; por ejemplo, es de grado 1, aunque cada sumando tiene grado 2. Sin embargo, esto no es necesario cuando el polinomio se escribe como producto de polinomios en forma estándar, porque el grado de un producto es la suma de los grados de los factores. ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

Nombres de polinomios por grado.

A los polinomios se les asignan los siguientes nombres según su grado: ^{[2] [3] [4]}

• Caso especial: cero (ver § Grado del polinomio cero, más abajo)
• Grado 0 – constante distinta de cero ^[5]
• Grado 1 – lineal
• Grado 2 – cuadrático
• Grado 3 – cúbico
• Grado 4: cuártico (o, si todos los términos tienen grado par, bicuadrático )
• Grado 5 – quíntico
• Grado 6 – sexético (o, menos comúnmente, hexico)
• Grado 7 – séptico (o, menos comúnmente, hepático)
• Grado 8 – óctico
• Grado 9 – nonico
• Grado 10 – decic

Los nombres para grados superiores a tres se basan en números ordinales latinos y terminan en -ic . Este debe distinguirse de los nombres utilizados para el número de variables, la aridad , que se basan en números distributivos latinos , y terminan en -ario . Por ejemplo, un polinomio de grado dos en dos variables, como , se llama "cuadrático binario": binario debido a dos variables, cuadrático debido a grado dos. ^[a] También existen nombres para el número de términos, que también se basan en números distributivos latinos, terminados en -nomial ; los más comunes son monomio , binomial y (menos comúnmente) trinomio ; por tanto, es un "binomio cuadrático binario". ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Ejemplos

El polinomio es un polinomio cúbico: después de multiplicar y reunir términos del mismo grado, se convierte en , con el exponente más alto 3. ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

El polinomio es un polinomio quíntico: al combinar términos semejantes, los dos términos de grado 8 se cancelan, quedando , con mayor exponente 5. ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

Comportamiento bajo operaciones polinomiales

El grado de la suma, el producto o la composición de dos polinomios está fuertemente relacionado con el grado de los polinomios de entrada. ^[6]

Suma

El grado de la suma (o diferencia) de dos polinomios es menor o igual al mayor de sus grados; eso es,

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$y . ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

Por ejemplo, el grado de es 2 y 2 ≤ max{3, 3}. ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

La igualdad siempre se cumple cuando los grados de los polinomios son diferentes. Por ejemplo, el grado de es 3 y 3 = max{3, 2}. ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

Multiplicación

El grado del producto de un polinomio por un escalar distinto de cero es igual al grado del polinomio; eso es,

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

Por ejemplo, el grado de es 2, que es igual al grado de . ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

Así, el conjunto de polinomios (con coeficientes de un campo dado F ) cuyos grados son menores o iguales a un número dado n forma un espacio vectorial ; para obtener más información, consulte Ejemplos de espacios vectoriales .

De manera más general, el grado del producto de dos polinomios sobre un campo o un dominio integral es la suma de sus grados:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Por ejemplo, el grado de es 5 = 3 + 2. ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

Para polinomios sobre un anillo arbitrario , las reglas anteriores pueden no ser válidas debido a la cancelación que puede ocurrir al multiplicar dos constantes distintas de cero. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 4 , se tiene que , pero , que no es igual a la suma de los grados de los factores. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$ ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

Composición

El grado de composición de dos polinomios no constantes y sobre un campo o dominio integral es el producto de sus grados: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

Por ejemplo, si tiene grado 3 y tiene grado 2, entonces su composición es la que tiene grado 6. ${\displaystyle P=x^{3}+x}$ ${\displaystyle Q=x^{2}-1}$ ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

Tenga en cuenta que para polinomios sobre un anillo arbitrario, el grado de la composición puede ser menor que el producto de los grados. Por ejemplo, en la composición de los polinomios y (ambos de grado 1) está el polinomio constante de grado 0. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 1+2x}$ ${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

Grado del polinomio cero

El grado del polinomio cero se deja sin definir o se define como negativo (generalmente −1 o ). ^[7] ${\displaystyle -\infty }$

Como cualquier valor constante, el valor 0 puede considerarse como un polinomio (constante), llamado polinomio cero . No tiene términos distintos de cero y, por tanto, estrictamente hablando, tampoco tiene grado. Como tal, su grado suele ser indefinido. Las proposiciones para el grado de sumas y productos de polinomios en la sección anterior no se aplican si alguno de los polinomios involucrados es el polinomio cero. ^{[ cita necesaria ]}

Es conveniente, sin embargo, definir el grado del polinomio cero como infinito negativo e introducir las reglas aritméticas ^[8] ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

y

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Estos ejemplos ilustran cómo esta extensión satisface las reglas de comportamiento anteriores:

• El grado de la suma es 3. Esto satisface el comportamiento esperado, que es ese . ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• El grado de la diferencia es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es ese . ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• El grado del producto es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es ese . ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

Calculado a partir de los valores de la función.

Existen varias fórmulas que evaluarán el grado de una función polinómica f . Uno basado en el análisis asintótico es

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

esta es la contraparte exacta del método de estimación de la pendiente en una gráfica log-log .

Esta fórmula generaliza el concepto de grado a algunas funciones que no son polinomios. Por ejemplo:

• El grado del inverso multiplicativo , , es −1. ${\displaystyle \ 1/x}$
• El grado de la raíz cuadrada , , es 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• El grado del logaritmo , , es 0. ${\displaystyle \ \log x}$
• El grado de la función exponencial , , es ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle \infty .}$

La fórmula también proporciona resultados razonables para muchas combinaciones de dichas funciones, por ejemplo, el grado de es . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$ ${\displaystyle -1/2}$

Otra fórmula para calcular el grado de f a partir de sus valores es

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

esta segunda fórmula se deriva de aplicar la regla de L'Hôpital a la primera fórmula. Sin embargo, intuitivamente se trata más bien de exhibir el grado d como el factor extra constante en la derivada de . ${\displaystyle dx^{d-1}}$ ${\displaystyle x^{d}}$

Se puede obtener una descripción más detallada (que un simple grado numérico) de las asintóticas de una función utilizando la notación O grande . En el análisis de algoritmos , por ejemplo, a menudo es relevante distinguir entre las tasas de crecimiento de y , que tendrían el mismo grado según las fórmulas anteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\log x}$

Extensión a polinomios con dos o más variables

Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado (a veces llamado grado total ) del polinomio es nuevamente el máximo de los grados de todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el polinomio x ² y ² + 3 x ³ + 4 y tiene grado 4, el mismo grado que el término x ² y ² .

Sin embargo, un polinomio en las variables x e y , es un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y , y también un polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x . El polinomio

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

tiene grado 3 en x y grado 2 en y .

Función de grado en álgebra abstracta

Dado un anillo R , el anillo polinómico R [ x ] es el conjunto de todos los polinomios en x que tienen coeficientes en R. En el caso especial de que R también sea un campo , el anillo polinómico R [ x ] es un dominio ideal principal y, lo que es más importante para nuestra discusión aquí, un dominio euclidiano .

Se puede demostrar que el grado de un polinomio sobre un campo satisface todos los requisitos de la función norma en el dominio euclidiano. Es decir, dados dos polinomios f ( x ) y g ( x ), el grado del producto f ( x ) g ( x ) debe ser mayor que los grados de f y g individualmente. De hecho, hay algo más fuerte:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

Para ver un ejemplo de por qué la función de grado puede fallar en un anillo que no es un campo, tome el siguiente ejemplo. Sea R = , el anillo de números enteros módulo 4. Este anillo no es un campo (y ni siquiera es un dominio integral ) porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Por lo tanto, sea f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Entonces, f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Por lo tanto, deg( f ⋅ g ) = 0 no es mayor que los grados de f y g (cada uno de los cuales tenía grado 1). ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Dado que la función norma no está definida para el elemento cero del anillo, consideramos que el grado del polinomio f ( x ) = 0 tampoco está definido, de modo que sigue las reglas de una norma en un dominio euclidiano.

Ver también

• Teorema de Abel-Ruffini
• Teorema fundamental del álgebra

Notas

1. Por simplicidad, este es un polinomio homogéneo , con igual grado en ambas variables por separado.

1. Gullberg, enero (1997), Matemáticas desde el nacimiento de los números, WW Norton & Company, p. 128, ISBN 9780393040029
2. Mac Lane y Birkhoff (1999) definen "lineal", "cuadrático", "cúbico", "cuártico" y "quíntico". (pág.107)
3. King (2009) define "cuadrático", "cúbico", "cuártico", "quíntico", "sextico", "séptico" y "óctico".
4. James Cockle propuso los nombres "sexic", "septic", "octic", "nonic" y "decic" en 1851. (Mechanics Magazine, vol. LV, p. 171)
5. Shafarevich (2003) dice de un polinomio de grado cero : "Tal polinomio se llama constante porque si sustituimos diferentes valores de x en él, siempre obtenemos el mismo valor ". (pág. 23) ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
6. Lang, Serge (2005), Álgebra (3ª ed.), Springer, p. 100, ISBN 978-0-387-95385-4
7. Shafarevich (2003) dice del polinomio cero: "En este caso, consideramos que el grado del polinomio no está definido". (p. 27)
   Childs (1995) utiliza −1. (p. 233)
   Childs (2009) usa −∞ (p. 287), sin embargo excluye los polinomios cero en su Proposición 1 (p. 288) y luego explica que la proposición es válida para polinomios cero "con la suposición razonable de que + m = para m cualquier número entero o m = ". Axler (1997) utiliza −∞. (p. 64) Grillet (2007) dice: "El grado del polinomio cero 0 a veces se deja sin definir o se define de diversas formas como −1 ∈ o como , siempre que grado 0 < grado A para todo A ≠ 0". ( A es un polinomio). Sin embargo, excluye los polinomios cero en su Proposición 5.3. (pág.121) ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
   
   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$
8. Axler (1997) da estas reglas y dice: "Se declara que el polinomio 0 tiene grado, de modo que no se necesitan excepciones para obtener varios resultados razonables". (pág. 64) ${\displaystyle -\infty }$

Referencias

• Axler, Sheldon (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
• Childs, Lindsay N. (1995), Una introducción concreta al álgebra superior (2ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
• Childs, Lindsay N. (2009), Una introducción concreta al álgebra superior (3.ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta (2ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
• King, R. Bruce (2009), Más allá de la ecuación cuártica, Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 9780821816462
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discursos sobre álgebra, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532