La teoría de funciones geométricas es el estudio de las propiedades geométricas de las funciones analíticas . Un resultado fundamental de la teoría es el teorema de aplicación de Riemann .
Los siguientes son algunos de los temas más importantes en la teoría de funciones geométricas: [1] [2]
Una función conforme es una función que conserva los ángulos localmente. En el caso más común, la función tiene un dominio y un rango en el plano complejo .
Más formalmente, un mapa,
Se denomina conforme (o preservadora de ángulos ) en un punto si preserva los ángulos orientados entre curvas a través de con respecto a su orientación (es decir, no solo la magnitud del ángulo). Las funciones conformes preservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme , introducida por Grötzsch (1928) y nombrada por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo entre dominios planos que en primer orden lleva círculos pequeños a elipses pequeñas de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto convierte círculos en elipses con excentricidad acotada por K.
Si K es 0, entonces la función es conforme .
La continuación analítica es una técnica para extender el dominio de una función analítica dada . La continuación analítica a menudo logra definir valores adicionales de una función, por ejemplo en una nueva región donde una representación de serie infinita en términos de la cual se definió inicialmente se vuelve divergente.
Sin embargo, la técnica de continuación por pasos puede encontrar dificultades. Estas pueden ser de naturaleza esencialmente topológica, dando lugar a inconsistencias (que definan más de un valor). También pueden estar relacionadas con la presencia de singularidades matemáticas . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no pueden ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de haces .
Los temas en esta área incluyen superficies de Riemann para funciones algebraicas y ceros para funciones algebraicas.
Una superficie de Riemann , estudiada por primera vez por Bernhard Riemann y nombrada en su honor , es una variedad compleja unidimensional . Las superficies de Riemann pueden considerarse versiones deformadas del plano complejo : localmente cerca de cada punto parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias láminas pegadas entre sí.
El punto principal de las superficies de Riemann es que pueden definirse funciones holomorfas entre ellas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el marco natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente las funciones multivaluadas como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas , o el logaritmo .
Los temas en esta área incluyen "Principio de máximo; Lema de Schwarz, Principio de Lindelöf, analogías y generalizaciones". [3]
Una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva .
Se puede demostrar que si y son dos conjuntos abiertos conexos en el plano complejo, y
es una función univalente tal que (es decir, es sobreyectiva ), entonces la derivada de nunca es cero, es invertible y su inversa también es holomorfa. Además, se tiene por la regla de la cadena
Otros términos de uso común son schlicht (que en alemán significa "claro, simple") y simple . Es un hecho notable, fundamental para la teoría de funciones univalentes, que la univalencia se conserva esencialmente bajo convergencia uniforme.
Sea un punto en una región simplemente conexa y que tenga al menos dos puntos límite. Entonces existe una función analítica única que se aplica biyectivamente al disco unitario abierto tal que y .
Aunque el teorema de aplicación de Riemann demuestra la existencia de una función de aplicación, en realidad no la muestra . A continuación se ofrece un ejemplo.
En la figura anterior, considere y como dos regiones simplemente conectadas diferentes de . El teorema de mapeo de Riemann proporciona la existencia de mapeo sobre el disco unidad y la existencia de mapeo sobre el disco unidad. Por lo tanto , es un mapeo uno a uno de sobre . Si podemos demostrar que , y en consecuencia la composición, es analítico, entonces tenemos un mapeo conforme de sobre , lo que demuestra que "cualquier dos regiones simplemente conectadas diferentes del plano completo pueden mapearse conformemente entre sí".
El lema de Schwarz , llamado así por Hermann Amandus Schwarz , es un resultado de un análisis complejo sobre funciones holomorfas desde el disco unitario abierto hasta sí mismo. El lema es menos conocido que otros teoremas más sólidos, como el teorema de aplicación de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que capturan la rigidez de las funciones holomorfas.
Lema de Schwarz. Sea D = { z : | z | < 1} el disco unitario abierto en el plano complejo C centrado en el origen y sea f : D → D una función holomorfa tal que f (0) = 0.
Entonces, | f ( z )| ≤ | z | para todo z en D y | f′ (0)| ≤ 1.
Además, si | f ( z )| = | z | para algún z distinto de cero o si | f′ (0)| = 1, entonces f ( z ) = az para algún a en C con | a | (necesariamente) igual a 1.
El principio del máximo es una propiedad de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales , de tipo elíptico y parabólico . En términos generales, dice que el máximo de una función en un dominio se encuentra en el límite de ese dominio. En concreto, el principio del máximo fuerte dice que si una función alcanza su máximo en el interior del dominio, la función es uniformemente constante. El principio del máximo débil dice que el máximo de la función se encuentra en el límite, pero puede volver a aparecer en el interior también. Existen otros principios del máximo, incluso más débiles, que simplemente limitan una función en términos de su máximo en el límite.
La fórmula de Riemann-Hurwitz , llamada así por Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cubierta ramificada de la otra. Por lo tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .
Para una superficie orientable S la característica de Euler χ( S ) es
donde g es el género (el número de asas ), ya que los números de Betti son 1, 2 g , 1, 0, 0, ... . En el caso de un mapa de cobertura ( no ramificado ) de superficies
que es sobreyectiva y de grado N , deberíamos tener la fórmula
Esto se debe a que cada símplex de S debería estar cubierto por exactamente N en S ′ —al menos si utilizamos una triangulación suficientemente fina de S , como tenemos derecho a hacer ya que la característica de Euler es un invariante topológico . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación ( láminas que se unen ).
Ahora supongamos que S y S′ son superficies de Riemann , y que la función π es analítica compleja . Se dice que la función π está ramificada en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π( P ) tales que π toma la forma π( z ) = z n , y n > 1. Una forma equivalente de pensar en esto es que existe un pequeño vecindario U de P tal que π( P ) tiene exactamente una preimagen en U , pero la imagen de cualquier otro punto en U tiene exactamente n preimágenes en U. El número n se llama índice de ramificación en P y también se denota por e P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e P − 1 copias de P por encima de π( P ) (es decir, en la imagen inversa de π( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S′ con vértices en los puntos de ramificación y de ramificación, respectivamente, y utilicémoslas para calcular las características de Euler. Entonces S′ tendrá la misma cantidad de caras d -dimensionales para d distinto de cero, pero menos vértices de los esperados. Por lo tanto, encontramos una fórmula "corregida"
(todos los P, excepto un número finito, tienen e P = 1, por lo que es bastante seguro). Esta fórmula se conoce como fórmula de Riemann-Hurwitz y también como teorema de Hurwitz .
