Ecuación diferencial parcial parabólica

Clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden

Una ecuación diferencial parcial parabólica es un tipo de ecuación diferencial parcial (EDP). Las EDP parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo en, entre otros, la ciencia de la ingeniería , la mecánica cuántica y las matemáticas financieras . Algunos ejemplos incluyen la ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y la ecuación de Black-Scholes .

Definición

Para definir el tipo más simple de EDP parabólica, considere una función de valor real de dos variables reales independientes, y . Una EDP lineal de segundo orden y coeficiente constante para toma la forma ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

donde los subíndices denotan las derivadas parciales de primer y segundo orden con respecto a y . La EDP se clasifica como parabólica si los coeficientes de la parte principal (es decir, los términos que contienen las derivadas de segundo orden de ) satisfacen la condición ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Generalmente representa la posición unidimensional y representa el tiempo, y la EDP se resuelve sujeta a condiciones iniciales y de contorno prescritas . Las ecuaciones con se denominan elípticas mientras que las que tienen son hiperbólicas . El nombre "parabólico" se utiliza porque la suposición sobre los coeficientes es la misma que la condición para que la ecuación de geometría analítica defina una parábola plana . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

El ejemplo básico de una PDE parabólica es la ecuación de calor unidimensional .

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

donde es la temperatura en la posición a lo largo de una varilla delgada en el tiempo y es una constante positiva llamada difusividad térmica . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$

La ecuación del calor dice, en líneas generales, que la temperatura en un momento y punto determinados aumenta o disminuye a una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura media cerca de ese punto. La cantidad mide lo lejos que está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas . ${\displaystyle u_{xx}}$

El concepto de ecuación diferencial parcial parabólica se puede generalizar de varias maneras. Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material está regido por la ecuación de calor tridimensional.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

dónde

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

denota el operador de Laplace que actúa sobre . Esta ecuación es el prototipo de una ecuación diferencial parcial parabólica multidimensional . ^[2] ${\displaystyle u}$

Observar que es un operador elíptico sugiere una definición más amplia de una PDE parabólica: ${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

donde es un operador elíptico de segundo orden (lo que implica que debe ser positivo ; un caso donde se considera a continuación). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector también puede ser parabólico. Por ejemplo, un sistema de este tipo está oculto en una ecuación de la forma ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

si la función matricial tiene un núcleo de dimensión 1. ${\displaystyle a(x)}$

Solución

En general, un problema de valor inicial/límite para una ecuación diferencial parcial parabólica lineal tiene una solución para todo el tiempo. La solución , como función de para un tiempo fijo , es generalmente más uniforme que los datos iniciales . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

En el caso de una ecuación diferencial parcial parabólica no lineal, la solución de un problema de valor inicial/frontera podría explotar en una singularidad en un lapso de tiempo finito. Puede resultar difícil determinar si existe una solución para siempre o comprender las singularidades que surgen. Estas interesantes preguntas surgen en la solución de la conjetura de Poincaré mediante el flujo de Ricci . ^{[ cita requerida ]}

Ecuación parabólica inversa

Ocasionalmente nos encontramos con una denominada ecuación diferencial parcial parabólica hacia atrás , que toma la forma (nótese la ausencia de un signo menos). ${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Un problema de valor inicial para la ecuación de calor hacia atrás,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

es equivalente a un problema de valor final para la ecuación de calor ordinaria,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

De manera similar a un problema de valor final para una EDP parabólica, un problema de valor inicial para una EDP parabólica inversa no suele estar bien planteado (las soluciones suelen volverse ilimitadas en un tiempo finito, o incluso no existen). No obstante, estos problemas son importantes para el estudio de la reflexión de singularidades de soluciones para otras EDP. ^[3]

Véase también

• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica

Notas

1. Zauderer 2006, pág. 124.
2. Zauderer 2006, pág. 139.
3. Taylor 1975.

Referencias

• Taylor, Michael E. (1975). "Reflexión de singularidades de soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales". Communications on Pure and Applied Mathematics . 28 (4): 457–478. CiteSeerX  10.1.1.697.9255 . doi :10.1002/cpa.3160280403. ISSN  0010-3640.
• Zauderer, Erich (2006). Ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-69073-3.OCLC 70158521  .

Lectura adicional

• Perthame, Benoît (2015), Ecuaciones parabólicas en biología: crecimiento, reacción, movimiento y difusión , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Graduate Studies in Mathematics , vol. 19 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, Sr.  2597943
• "Ecuación diferencial parcial parabólica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial parabólica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]