En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o producto logarítmico , [1] es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we w , donde w es cualquier número complejo y e w es la función exponencial . La función recibe su nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W per se en 1783.
Para cada entero k hay una rama, denotada por W k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W 0 se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos cualesquiera, entonces
se cumple si y sólo si
Cuando se trata sólo de números reales, las dos ramas W 0 y W −1 son suficientes: para los números reales x e y la ecuación
se puede resolver para y solo si x ≥ − 1/mi ; produce y = W 0 ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W 0 ( x ) y y = W −1 ( x ) si − 1/mi ≤ x < 0 .
La convención de notación elegida aquí (con W 0 y W −1 ) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . [3]
El nombre "logaritmo del producto" se puede entender así: dado que la función inversa de f ( w ) = e w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la "función" inversa del producto we w como "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , es multivaluado y, por lo tanto, W se describe como la relación inversa en lugar de la función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a W 0 (1) .
Historia
Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, [4] lo que condujo a un artículo de Leonhard Euler en 1783 [5] que discutía el caso especial de we w .
La ecuación que Lambert consideró fue
Euler transformó esta ecuación en la forma
Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.
Una vez que Euler hubo resuelto esta ecuación, consideró el caso . Tomando límites, derivó la ecuación
Luego puso y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresando en términos de .
Después de tomar derivadas con respecto a y algunas manipulaciones, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.
En 1993, se informó que la función Lambert proporciona una solución exacta al modelo de función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas iguales [6] , un problema fundamental en física. Impulsados por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple se dieron cuenta de que "la función W de Lambert se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a la notación diferente y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto como debería haber sido". [3] [7]
Aunque se creía ampliamente que la función de Lambert no se puede expresar en términos de funciones elementales ( de Liouvillian ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. [9]
Propiedades elementales, ramas y rango
Hay un número contable de ramas de la función W , denotada por W k ( z ) , para el entero k ; W 0 ( z ) es la rama principal. W 0 ( z ) se define para todos los números complejos z mientras que W k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Con W 0 (0) = 0 ylímitez →0W k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .
El punto de ramificación de la rama principal está en z = − 1/mi , con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W −1 y W 1 . En todas las ramas W k con k ≠ 0 , hay un punto de rama en z = 0 y un corte de rama a lo largo de todo el eje real negativo.
Las funciones W k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .
Inverso
El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la simple relación inversa es verdadera. implica que existe un tal que , donde depende del valor de . El valor del entero cambia abruptamente cuando está en el corte de la rama de , lo que significa que ≤ 0 , excepto para donde es ≤ −1/ .
Definiendo , donde y son reales, y expresando en coordenadas polares, se ve que
Para , el corte de rama para es el eje real no positivo, de modo que
y
Para , la rama cortada para es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierte en
Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en , y esas regiones especifican dónde la función es simplemente invertible, es decir , .
( W no es diferenciable para z = − 1/mi .) Como consecuencia, se obtiene la siguiente fórmula para la derivada de W :
Usando la identidad e W ( z ) = el/W ( z ) , da la siguiente fórmula equivalente:
En el origen tenemos
Integral
La función W ( x ) , y muchas otras expresiones que involucran W ( x ) , se pueden integrar utilizando la sustitución w = W ( x ) , es decir x = we w :
(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W 0 ( e ) = 1 ) es la identidad
donde L 1 = ln x , L 2 = ln ln x , y [yo + yo + 1] es un número de Stirling no negativodel primer tipo.[3]Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,
La otra rama real, W −1 , definida en el intervalo [− 1/mi , 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, con en este caso L 1 = ln(− x ) y L 2 = ln(−ln(− x )) . [3]
Potencias enteras y complejas
Las potencias enteras de W 0 también admiten expansiones simples en serie de Taylor (o Laurent ) en cero:
que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, esta última puede escribirse en forma de una expansión de Taylor de potencias de W 0 ( x ) / x :
lo cual es válido para cualquier r ∈ C y | x | < 1/mi .
Límites y desigualdades
Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.
Hoorfar y Hassani [10] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :
También mostraron el límite general
para cada y , con igualdad solo para . El límite permite realizar muchos otros límites, como tomar que da el límite
En 2013 se demostró [11] que la rama W −1 se puede acotar de la siguiente manera:
Roberto Iacono y John P. Boyd [12] mejoraron los límites de la siguiente manera:
Identidades
De la definición se desprenden algunas identidades:
Nótese que, dado que f ( x ) = xe x no es inyectiva , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x , de forma muy similar a lo que ocurre con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 fijo y x ≠ −1 , la ecuación xe x = ye y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W i ( xe x ) es la otra solución.
Algunas otras identidades: [13]
[14]
(que puede extenderse a otros n y x si se elige la rama correcta).
Sustituyendo −ln x en la definición: [15]
Con la exponencial iterada h ( x ) de Euler :
Valores especiales
Los siguientes son valores especiales de la rama principal:
La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W 0 ( x ) , lo que da
De este modo
La tercera identidad puede derivarse de la segunda haciendo la sustitución u = x −2 y la primera también puede derivarse de la tercera mediante la sustitución z = 1/√ 2 tan x .
A excepción de z a lo largo del corte de la rama (−∞, − 1/mi ] (donde la integral no converge), la rama principal de la función W de Lambert se puede calcular mediante la siguiente integral: [20]
donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.
Integrales indefinidas
Primera prueba
Introducir variable de sustitución
2da prueba
Prueba
Prueba
Introduzca la variable de sustitución , que nos da y
Aplicaciones
Resolver ecuaciones
La función W de Lambert se utiliza para resolver ecuaciones en las que la cantidad desconocida se encuentra tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia consiste en convertir dicha ecuación en una ecuación de la forma ze z = w y luego resolver z utilizando la función W.
Por ejemplo, la ecuación
(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como
Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:
y por lo tanto:
Generalmente, la solución a
es:
donde a , b y c son constantes complejas, donde b y c no son iguales a cero, y la función W es de cualquier orden entero.
Flujos viscosos
Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:
donde H ( x ) es la altura del flujo de escombros, x es la posición del canal aguas abajo, L es el parámetro del modelo unificado que consiste en varios parámetros físicos y geométricos del flujo, la altura del flujo y el gradiente de presión hidráulica.
Flujo dependiente del tiempo en sistemas hidráulicos de ramales simples
La rama principal de la función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería mecánica , en el estudio de la transferencia dependiente del tiempo de fluidos newtonianos entre dos yacimientos con niveles de superficie libre variables, utilizando bombas centrífugas. [22] La función W de Lambert proporcionó una solución exacta al caudal de fluido tanto en régimen laminar como turbulento:
donde es el caudal inicial y es el tiempo.
Neuroimagen
La función W de Lambert se emplea en el campo de la neuroimagen para vincular los cambios en el flujo sanguíneo cerebral y el consumo de oxígeno dentro de un vóxel cerebral con la señal dependiente del nivel de oxigenación sanguínea (BOLD) correspondiente. [23]
Ingeniería química
La función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería química para modelar el espesor de la película de electrodos porosos en un supercondensador basado en carbono vítreo para el almacenamiento de energía electroquímica. La función W de Lambert proporciona una solución exacta para un proceso de activación térmica en fase gaseosa donde el crecimiento de la película de carbono y la combustión de la misma película compiten entre sí. [24] [25]
Crecimiento de cristales
En el crecimiento de cristales, el principio negativo de la función W de Lambert se puede utilizar para calcular el coeficiente de distribución, , y la concentración de soluto en la masa fundida, , [26] [27] a partir de la ecuación de Scheil :
Ciencias de los materiales
La función W de Lambert se emplea en el campo del crecimiento de películas epitaxiales para determinar el espesor crítico de la película al inicio de la dislocación . Este es el espesor calculado de una película epitaxial, donde debido a principios termodinámicos la película desarrollará dislocaciones cristalográficas para minimizar la energía elástica almacenada en las películas. Antes de la aplicación de la función W de Lambert para este problema, el espesor crítico tenía que determinarse mediante la resolución de una ecuación implícita. La función W de Lambert la convierte en una ecuación explícita para un manejo analítico fácil. [28]
Medios porosos
La función W de Lambert se ha empleado en el campo del flujo de fluidos en medios porosos para modelar la inclinación de una interfaz que separa dos fluidos segregados gravitacionalmente en un lecho poroso inclinado homogéneo de inclinación y espesor constantes, donde el fluido más pesado, inyectado en el extremo inferior, desplaza al fluido más ligero que se produce a la misma velocidad desde el extremo superior. La rama principal de la solución corresponde a desplazamientos estables, mientras que la rama −1 se aplica si el desplazamiento es inestable y el fluido más pesado circula por debajo del fluido más ligero. [29]
se puede resolver mediante las dos ramas reales W 0 y W −1 :
Esta aplicación muestra que la diferencia de ramas de la función W se puede emplear para resolver otras ecuaciones trascendentales. [30]
Estadística
El centroide de un conjunto de histogramas definidos con respecto a la divergencia simetrizada de Kullback-Leibler (también llamada divergencia de Jeffreys [31] ) tiene una forma cerrada utilizando la función W de Lambert . [32]
Puesta en común de pruebas para enfermedades infecciosas
Para encontrar el tamaño óptimo del grupo para agrupar las pruebas de modo que al menos un individuo esté infectado se utiliza la función W de Lambert . [33] [34] [35]
Soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger
La función W de Lambert aparece en un potencial mecánico cuántico, que proporciona la quinta solución exacta (junto con las del oscilador armónico más centrífugo, el de Coulomb más cuadrado inverso, el de Morse y el de raíz cuadrada inversa) a la ecuación unidimensional estacionaria de Schrödinger en términos de las funciones hipergeométricas confluentes. El potencial se da como
Una particularidad de la solución es que cada una de las dos soluciones fundamentales que componen la solución general de la ecuación de Schrödinger está dada por una combinación de dos funciones hipergeométricas confluentes de un argumento proporcional a [36]
La función W de Lambert también aparece en la solución exacta para la energía del estado ligado de la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial delta doble .
Solución exacta de la constante de acoplamiento de QCD
En cromodinámica cuántica , la teoría cuántica de campos de la interacción fuerte , la constante de acoplamiento se calcula de forma perturbativa, correspondiendo el orden n a los diagramas de Feynman que incluyen n bucles cuánticos. [37] La solución de primer orden, n=1, es exacta (en ese orden) y analítica. En órdenes superiores, n>1, no hay una solución exacta y analítica y normalmente se utiliza un método iterativo para proporcionar una solución aproximada. Sin embargo, para el segundo orden, n=2, la función de Lambert proporciona una solución exacta (si bien no analítica). [37]
Soluciones exactas de las ecuaciones de vacío de Einstein
Las resonancias de ondas s del potencial de capa delta se pueden escribir exactamente en términos de la función W de Lambert . [38]
Equilibrio termodinámico
Si una reacción involucra reactivos y productos que tienen capacidades térmicas que son constantes con la temperatura, entonces la constante de equilibrio K obedece
para algunas constantes a , b y c . Cuando c (igual a Δ C p/R ) no es cero, el valor o los valores deT se pueden encontrar donde K es igual a un valor dado de la siguiente manera, donde L se puede usar para ln T.
Si a y c tienen el mismo signo habrá dos soluciones o ninguna (o una si el argumento de W es exactamente − 1/mi ). (La solución superior puede no ser relevante). Si tienen signos opuestos, habrá una sola solución.
Separación de fases de mezclas de polímeros
En el cálculo del diagrama de fases de mezclas de polímeros termodinámicamente incompatibles según el modelo de Edmond-Ogston , las soluciones para las líneas binodales y de unión se formulan en términos de funciones W de Lambert. [39]
Ley de desplazamiento de Wien en unaD-universo dimensional
La ley de desplazamiento de Wien se expresa como . Con y , donde es la densidad de energía espectral, se encuentra , donde es el número de grados de libertad para la traslación espacial. La solución muestra que la densidad de energía espectral depende de la dimensionalidad del universo. [40]
Correspondencia AdS/CFT
Las correcciones clásicas de tamaño finito a las relaciones de dispersión de magnones gigantes, picos individuales y cuerdas GKP se pueden expresar en términos de la función W de Lambert . [41] [42]
Epidemiología
En el límite t → ∞ del modelo SIR , la proporción de individuos susceptibles y recuperados tiene una solución en términos de la función W de Lambert . [43]
Determinación del tiempo de vuelo de un proyectil
El tiempo total del recorrido de un proyectil que experimenta una resistencia del aire proporcional a su velocidad se puede determinar de forma exacta utilizando la función W de Lambert .
Propagación de ondas electromagnéticas superficiales
La ecuación trascendental que aparece en la determinación del número de onda de propagación de una onda superficial electromagnética axialmente simétrica (un modo TM01 único de baja atenuación) que se propaga en un alambre metálico cilíndrico da lugar a una ecuación como u ln u = v (donde u y v agrupan los factores geométricos y físicos del problema), que se resuelve mediante la función W de Lambert . La primera solución a este problema, debida a Sommerfeld alrededor de 1898, ya contenía un método iterativo para determinar el valor de la función W de Lambert . [44]
Trayectorias ortogonales de elipses reales
La familia de elipses centrada en está parametrizada por la excentricidad . Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas por la ecuación diferencial cuya solución general es la familia .
Generalizaciones
La función W de Lambert estándar expresa soluciones exactas a ecuaciones algebraicas trascendentales (en x ) de la forma:
donde a 0 , c y r son constantes reales. La solución es
Las generalizaciones de la función W de Lambert [45] [46] [47] incluyen:
Una aplicación a la relatividad general y a la mecánica cuántica ( gravedad cuántica ) en dimensiones inferiores, de hecho un vínculo (desconocido antes de 2007 [48] ) entre estas dos áreas, donde el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por un polinomio cuadrático en x :
Las aplicaciones de la función W de Lambert en problemas físicos fundamentales no se han agotado ni siquiera para el caso estándar expresado en ( 1 ), como se ha visto recientemente en el área de la física atómica, molecular y óptica . [51]
Parcelas
Gráficas de la función W de Lambert en el plano complejo
z = Re( W 0 ( x + iy ))
z = Im( W 0 ( x + iy ))
z = | W 0 ( x + iy ) |
Superposición de las tres tramas anteriores
Evaluación numérica
La función W se puede aproximar utilizando el método de Newton , con aproximaciones sucesivas a w = W ( z ) (por lo que z = we w ) siendo
En términos reales , se puede aproximar mediante la fórmula recursiva de tasa cuadrática de R. Iacono y JP Boyd: [12]
Lajos Lóczi demuestra [52] que al utilizar esta iteración con un valor inicial apropiado ,
Para la sucursal principal
si :
si
si
Para la sucursal
si
si
Se puede determinar el número máximo de pasos de iteración de antemano para cualquier precisión:
Si (Teorema 2.4):
Si (Teorema 2.9):
si
para la rama principal (Teorema 2.17):
para la rama (Teorema 2.23):
Toshio Fukushima has presented a fast method for approximating the real valued parts of the principal and secondary branches of the W function without using any iteration.[53] In this method the W function is evaluated as a conditional switch of rational functions on transformed varibles:where x, u, y and v are transformations of z:
.
Here , , , and are rational functions whose coefficients for different k-values are listed in the referenced paper together with the values that determine the subdomains. With higher degree polynomials in these rational functions the method can approximate the W function more accurately.
For example, when , can be approximated to 24 bits of accuracy on 64-bit floating point values as where x is defined with the transformation above and the coefficients and are given in the table below.
Fukushima also offers an approximation with 50 bits of accuracy on 64-bit floats that uses 8th and 7th degree polynomials.
Software
The Lambert W function is implemented in many programming languages. Some of them are listed below:
C++ code for all the branches of the complex Lambert W function is also available on the homepage of István Mező.[65]
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Enlaces externos
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MathWorld – Función W de Lambert
Cálculo de la función W de Lambert
Corless et al. Notas sobre la investigación de Lambert W.
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