En matemáticas , una operación binaria u operación diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos ) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.
Una operación de aridad dos que involucra varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales requiere un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar requiere dos vectores para producir un escalar. Estas operaciones binarias también pueden denominarse funciones binarias .
Sobre el conjunto de los números reales , es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real.
Sobre el conjunto de los números naturales , es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes.
En el conjunto de matrices con entradas reales, es una operación binaria ya que la suma de dos de dichas matrices es una matriz.
En el conjunto de matrices con entradas reales, es una operación binaria ya que el producto de dos de dichas matrices es una matriz.
Para un conjunto dado , sea el conjunto de todas las funciones . Definir por para todos , la composición de las dos funciones y en . Entonces es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es nuevamente una función del conjunto (es decir, un miembro de ).
Muchas operaciones binarias de interés tanto en álgebra como en lógica formal son conmutativas , satisfactorias para todos los elementos y en , o asociativas , satisfactorias para todos , y en . Muchos también tienen elementos de identidad y elementos inversos .
Los primeros tres ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.
En el conjunto de los números reales , la resta , es decir, es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general ,. Tampoco es asociativo, ya que, por lo general, ; por ejemplo, pero .
En el conjunto de números naturales , la operación binaria exponenciación ,, no es conmutativa ya que, (cf. Ecuación x y = y x ), y tampoco es asociativa ya que . Por ejemplo, con , , y , , pero . Al cambiar el conjunto al conjunto de números enteros , esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definido cuándo y es cualquier número entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad correcta (que es ) ya que para todos en el conjunto, que no es una identidad (identidad bilateral) ya que en general.
La división ( ), una operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. La tetración ( ), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento de identidad.
Notación
Las operaciones binarias a menudo se escriben usando notación infija como , o (por yuxtaposición sin símbolo) en lugar de notación funcional de la forma . Las potencias también suelen escribirse sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice .
Las operaciones binarias a veces se escriben usando notación de prefijo o (más frecuentemente) de postfijo, las cuales prescinden de los paréntesis. También se denominan, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa .
Operaciones binarias como relaciones ternarias
Una operación binaria en un conjunto puede verse como una relación ternaria en , es decir, el conjunto de ternas en para todos y en .
Además, el producto escalar de dos vectores se asigna a , donde es un campo y es un espacio vectorial encima . Depende de los autores si se considera una operación binaria.
Magma (álgebra) – Estructura algebraica con operación binaria
Operador (programación) : construcción asociada con una operación matemática en programas de computadora.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Operación ternaria : operación matemática que combina tres elementos para producir otro elemento.
^ George A. Grätzer (2008). Álgebra universal (2ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo 2. Álgebras parciales. ISBN 978-0-387-77487-9.
Referencias
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Rotman, Joseph J. (1973), La teoría de los grupos: una introducción (2ª ed.), Boston: Allyn y Bacon