Función binaria

Función que toma dos entradas

En matemáticas , una función binaria (también llamada función bivariada o función de dos variables ) es una función que toma dos entradas.

Dicho con precisión, una función es binaria si existen conjuntos tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z}$

¿Dónde está el producto cartesiano de y ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Definiciones alternativas

En teoría de conjuntos , una función binaria se puede representar como un subconjunto del producto cartesiano , donde pertenece al subconjunto si y solo si . Por el contrario, un subconjunto define una función binaria si y solo si para cualquier y , existe un único tal que pertenece a . se define entonces como este . ${\displaystyle X\times Y\times Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z}$

Alternativamente, una función binaria puede interpretarse simplemente como una función de a . Sin embargo, incluso cuando se piensa de esta manera, generalmente se escribe en lugar de . (Es decir, se utiliza el mismo par de paréntesis para indicar tanto la aplicación de la función como la formación de un par ordenado .) ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f((x,y))}$

Ejemplos

La división de números enteros puede considerarse como una función. Si es el conjunto de los números enteros , es el conjunto de los números naturales (excepto el cero) y es el conjunto de los números racionales , entonces la división es una función binaria . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q} }$

En un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , la multiplicación escalar es una función binaria. Un escalar a ∈ F se combina con un vector v ∈ V para producir un nuevo vector av ∈ V .

Otro ejemplo es el de los productos internos, o más generalmente funciones de la forma , donde x , y son vectores de valor real de tamaño apropiado y M es una matriz. Si M es una matriz definida positiva , esto produce un producto interno . ^[1] ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My}$

Funciones de dos variables reales

Las funciones cuyo dominio es un subconjunto de a menudo también se denominan funciones de dos variables, incluso si su dominio no forma un rectángulo y, por lo tanto, el producto cartesiano de dos conjuntos. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Restricciones a las funciones ordinarias

A su vez, también se pueden derivar funciones ordinarias de una variable a partir de una función binaria. Dado cualquier elemento , existe una función , o , de a , dada por . De manera similar, dado cualquier elemento , existe una función , o , de a , dada por . En informática, esta identificación entre una función de a y una función de a , donde es el conjunto de todas las funciones de a , se denomina currificación . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{x}}$ ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Generalizaciones

Los diversos conceptos relacionados con las funciones también se pueden generalizar a las funciones binarias. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior es sobreyectivo (o sobreyectivo ) porque todo número racional se puede expresar como cociente de un número entero y un número natural. Este ejemplo es inyectivo en cada entrada por separado, porque las funciones f ^x y f _y siempre son inyectivas. Sin embargo, no es inyectivo en ambas variables simultáneamente, porque (por ejemplo) f (2,4) = f (1,2).

También se pueden considerar funciones binarias parciales , que pueden definirse solo para ciertos valores de las entradas. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior también puede interpretarse como una función binaria parcial de Z y N a Q , donde N es el conjunto de todos los números naturales, incluido el cero. Pero esta función no está definida cuando la segunda entrada es cero.

Una operación binaria es una función binaria donde los conjuntos X , Y y Z son todos iguales; las operaciones binarias se utilizan a menudo para definir estructuras algebraicas .

En álgebra lineal , una transformación bilineal es una función binaria donde los conjuntos X , Y y Z son todos espacios vectoriales y las funciones derivadas f ^x y f _y son todas transformaciones lineales . Una transformación bilineal, como cualquier función binaria, puede interpretarse como una función de X × Y a Z , pero esta función en general no será lineal. Sin embargo, la transformación bilineal también puede interpretarse como una transformación lineal simple del producto tensorial a Z. ${\displaystyle X\otimes Y}$

Generalizaciones a funciones ternarias y otras

El concepto de función binaria se generaliza a función ternaria (o 3-aria ) , función cuaternaria (o 4-aria ) o, de manera más general, a función n-aria para cualquier número natural n . Una función 0-aria para Z se da simplemente por un elemento de Z. También se puede definir una función A-aria donde A es cualquier conjunto ; hay una entrada para cada elemento de A.

Teoría de categorías

En teoría de categorías , las funciones n -arias se generalizan a morfismos n -arios en una multicategoría . La interpretación de un morfismo n -ario como un morfismo ordinario cuyo dominio es algún tipo de producto de los dominios del morfismo n -ario original funcionará en una categoría monoidal . La construcción de los morfismos derivados de una variable funcionará en una categoría monoidal cerrada . La categoría de conjuntos es monoidal cerrada, pero también lo es la categoría de espacios vectoriales, lo que da lugar a la noción de transformación bilineal anterior.

Véase también

• Aridad

Referencias

1. Clarke, Bertrand; Fokoue, Ernest; Zhang, Hao Helen (21 de julio de 2009). Principios y teoría para la minería de datos y el aprendizaje automático. p. 285. ISBN 9780387981352. Recuperado el 16 de agosto de 2016 .
2. Stewart, James (2011). Fundamentos del cálculo multivariante . Toronto: Nelson Education. pág. 591.