Cuantificación de unicidad

Propiedad lógica de ser el único objeto que satisface una condición

En matemáticas y lógica , el término "singularidad" se refiere a la propiedad de ser el único objeto que satisface una determinada condición. ^[1] Este tipo de cuantificación se conoce como cuantificación de unicidad o cuantificación existencial única , y a menudo se denota con los símbolos " ∃ !" ^[2] o "∃ _{= 1} ".

Por ejemplo, la declaración formal

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

puede leerse como "hay exactamente un número natural tal que ". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-2=4}$

Demostrando singularidad

La técnica más común para demostrar la existencia única de un objeto es probar primero la existencia de la entidad con la condición deseada y luego probar que dos de esas entidades (por ejemplo, y ) deben ser iguales entre sí (es decir  , ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$

Por ejemplo, para demostrar que la ecuación tiene exactamente una solución, primero se empezaría por establecer que existe al menos una solución, es decir, 3; la prueba de esta parte es simplemente la verificación de que se cumple la ecuación siguiente: ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle 3+2=5.}$

Para establecer la unicidad de la solución, se procedería asumiendo que hay dos soluciones, a saber y , que satisfacen . Es decir, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ and }}b+2=5.}$

Entonces, como la igualdad es una relación transitiva ,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Restando 2 de ambos lados obtenemos

${\displaystyle a=b.}$

lo que completa la prueba de que 3 es la única solución de . ${\displaystyle x+2=5}$

En general, tanto la existencia (existe al menos un objeto) como la unicidad (existe como máximo un objeto) deben probarse para poder concluir que existe exactamente un objeto que satisface dicha condición.

Una forma alternativa de demostrar la unicidad es demostrar que existe un objeto que satisface la condición y luego demostrar que todo objeto que satisface la condición debe ser igual a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Reducción a la cuantificación existencial ordinaria y universal

La cuantificación de unicidad se puede expresar en términos de los cuantificadores existenciales y universales de la lógica de predicados , definiendo la fórmula como ${\displaystyle \exists !xP(x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

lo cual es lógicamente equivalente a

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Una definición equivalente que separa las nociones de existencia y unicidad en dos cláusulas, a costa de la brevedad, es

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

Otra definición equivalente, que tiene la ventaja de la brevedad, es

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Generalizaciones

La cuantificación de unicidad se puede generalizar a la cuantificación de conteo (o cuantificación numérica ^[3] ). Esto incluye tanto la cuantificación de la forma "existen exactamente k objetos tales que ..." como "existen infinitos objetos tales que ..." y "solo existen finitos objetos tales que ..." La primera de estas formas se puede expresar utilizando cuantificadores ordinarios, pero las dos últimas no se pueden expresar en lógica ordinaria de primer orden . ^[4]

La unicidad depende de una noción de igualdad . Si se la suaviza hasta convertirla en una relación de equivalencia más burda, se obtiene la cuantificación de la unicidad hasta esa equivalencia (en este marco, la unicidad regular es "unicidad hasta la igualdad"). Por ejemplo, muchos conceptos de la teoría de categorías se definen como únicos hasta el isomorfismo .

El signo de exclamación también se puede utilizar como un símbolo de cuantificación independiente, por ejemplo , se puede utilizar con seguridad en el axioma de reemplazo , en lugar de . ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle (\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))}$ ${\displaystyle (!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$ ${\displaystyle \exists !}$

Véase también

• Esencialmente único
• Uno caliente
• Singleton (matemáticas)
• Teorema de unicidad

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Teorema de unicidad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. "2.5 Argumentos de unicidad". www.whitman.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. Helman, Glen (1 de agosto de 2013). "Cuantificación numérica" ​​(PDF) . persweb.wabash.edu . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
4. Esto es una consecuencia del teorema de compacidad .

Bibliografía

• Kleene, Stephen (1952). Introducción a las metamatemáticas . Ishi Press International. pág. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Introducción a la lógica matemática y la teoría de tipos para la verdad a través de la prueba (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.