El álgebra universal (a veces llamada álgebra general ) es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en sí mismas, no ejemplos ("modelos") de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de tomar grupos particulares como objeto de estudio, en el álgebra universal se toma la clase de grupos como objeto de estudio.
En álgebra universal, un álgebra (o estructura algebraica ) es un conjunto A junto con una colección de operaciones sobre A.
Una operación n - aria sobre A es una función que toma n elementos de A y devuelve un único elemento de A. Por lo tanto, una operación 0-aria (u operación nularia ) se puede representar simplemente como un elemento de A o una constante , a menudo denotada por una letra como a . Una operación 1-aria (u operación unaria ) es simplemente una función de A a A , a menudo denotada por un símbolo colocado delante de su argumento, como ~ x . Una operación 2-aria (u operación binaria ) a menudo se denota por un símbolo colocado entre sus argumentos (también llamado notación infija ), como x ∗ y . Las operaciones de aridad superior o no especificada generalmente se denotan por símbolos de función, con los argumentos colocados entre paréntesis y separados por comas, como f ( x , y , z ) o f ( x 1 ,..., x n ). Una forma de hablar de un álgebra, entonces, es referirse a ella como un álgebra de un cierto tipo , donde es una secuencia ordenada de números naturales que representa la aridad de las operaciones del álgebra. Sin embargo, algunos investigadores también permiten operaciones infinitarias , como donde J es un conjunto de índices infinito , que es una operación en la teoría algebraica de retículos completos .
Una vez especificadas las operaciones, la naturaleza del álgebra se define con más detalle mediante axiomas , que en el álgebra universal suelen adoptar la forma de identidades o leyes ecuacionales. Un ejemplo es el axioma asociativo para una operación binaria, que se da mediante la ecuación x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . El axioma pretende ser válido para todos los elementos x , y y z del conjunto A .
Una colección de estructuras algebraicas definidas por identidades se denomina variedad o clase ecuacional .
Restringir el estudio a las variedades excluye:
El estudio de clases ecuacionales puede verse como una rama especial de la teoría de modelos , que generalmente trata con estructuras que solo tienen operaciones (es decir, el tipo puede tener símbolos para funciones pero no para relaciones distintas de la igualdad) y en la que el lenguaje utilizado para hablar sobre estas estructuras utiliza solo ecuaciones.
No todas las estructuras algebraicas en un sentido más amplio entran en este ámbito. Por ejemplo, los grupos ordenados implican una relación de ordenación, por lo que no entrarían en este ámbito.
La clase de campos no es una clase ecuacional porque no existe ningún tipo (o "firma") en el que todas las leyes de campos puedan escribirse como ecuaciones (las inversas de los elementos se definen para todos los elementos distintos de cero en un campo, por lo que no se puede agregar inversión al tipo).
Una ventaja de esta restricción es que las estructuras estudiadas en el álgebra universal pueden definirse en cualquier categoría que tenga productos finitos . Por ejemplo, un grupo topológico es simplemente un grupo en la categoría de espacios topológicos .
La mayoría de los sistemas algebraicos habituales de las matemáticas son ejemplos de variedades, pero no siempre de forma obvia, ya que las definiciones habituales a menudo implican cuantificación o desigualdades.
Como ejemplo, consideremos la definición de un grupo . Por lo general, un grupo se define en términos de una única operación binaria ∗, sujeta a los axiomas:
(Algunos autores también utilizan el axioma de " clausura " según el cual x ∗ y pertenece a A siempre que x e y lo hagan, pero aquí esto ya está implícito al llamar a ∗ una operación binaria).
Esta definición de grupo no se ajusta inmediatamente al punto de vista del álgebra universal, porque los axiomas del elemento identidad y de la inversión no se establecen puramente en términos de leyes ecuacionales que se cumplen universalmente "para todos los elementos ..." sino que también implican el cuantificador existencial "existe ..." Los axiomas de grupo pueden expresarse como ecuaciones cuantificadas universalmente especificando, además de la operación binaria ∗, una operación nularia e y una operación unaria ~, con ~ x escrito habitualmente como x −1 . Los axiomas se convierten en:
Resumiendo, la definición habitual es:
Mientras que la definición del álgebra universal tiene:
Un punto clave es que las operaciones adicionales no agregan información, sino que se desprenden de manera única de la definición habitual de un grupo. Aunque la definición habitual no especifica de manera única el elemento identidad e , un ejercicio sencillo muestra que es único, como lo es el inverso de cada elemento.
El punto de vista del álgebra universal se adapta bien a la teoría de categorías. Por ejemplo, al definir un objeto de grupo en la teoría de categorías, donde el objeto en cuestión puede no ser un conjunto, se deben usar leyes ecuacionales (que tienen sentido en categorías generales), en lugar de leyes cuantificadas (que se refieren a elementos individuales). Además, la inversa y la identidad se especifican como morfismos en la categoría. Por ejemplo, en un grupo topológico , la inversa no solo debe existir elemento por elemento, sino que debe dar una aplicación continua (un morfismo). Algunos autores también requieren que la aplicación de identidad sea una inclusión cerrada (una cofibración ).
La mayoría de las estructuras algebraicas son ejemplos de álgebras universales.
Los ejemplos de álgebras relacionales incluyen semirretículas , retículas y álgebras de Boole .
Suponemos que el tipo, , ha sido fijado. Entonces hay tres construcciones básicas en el álgebra universal: imagen homomórfica, subálgebra y producto.
Un homomorfismo entre dos álgebras A y B es una función h : A → B del conjunto A al conjunto B tal que, para cada operación f A de A y correspondiente f B de B (de aridad, digamos, n ), h ( f A ( x 1 , ..., x n )) = f B ( h ( x 1 ), ..., h ( x n )). (A veces los subíndices de f se eliminan cuando está claro por el contexto de qué álgebra es la función.) Por ejemplo, si e es una constante (operación nula), entonces h ( e A ) = e B . Si ~ es una operación unaria, entonces h (~ x ) = ~ h ( x ). Si ∗ es una operación binaria, entonces h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). Y así sucesivamente. Algunas de las cosas que se pueden hacer con los homomorfismos, así como las definiciones de ciertos tipos especiales de homomorfismos, se enumeran en Homomorfismo . En particular, podemos tomar la imagen homomórfica de un álgebra, h ( A ).
Una subálgebra de A es un subconjunto de A que está cerrado bajo todas las operaciones de A. Un producto de algún conjunto de estructuras algebraicas es el producto cartesiano de los conjuntos con las operaciones definidas coordinadamente.
Además de su enfoque unificador, el álgebra universal también proporciona teoremas profundos y ejemplos y contraejemplos importantes. Proporciona un marco útil para quienes desean iniciar el estudio de nuevas clases de álgebras. Puede permitir el uso de métodos inventados para algunas clases particulares de álgebras en otras clases de álgebras, reformulando los métodos en términos del álgebra universal (si es posible) y luego interpretándolos como aplicados a otras clases. También ha proporcionado clarificación conceptual; como dice JDH Smith, "Lo que parece desordenado y complicado en un marco particular puede resultar simple y obvio en el marco general apropiado".
En particular, el álgebra universal se puede aplicar al estudio de monoides , anillos y retículos . Antes de que apareciera el álgebra universal, muchos teoremas (sobre todo los teoremas de isomorfismo ) se demostraban por separado en todas estas clases, pero con el álgebra universal, se pueden demostrar de una vez por todas para todo tipo de sistema algebraico.
El artículo de Higgins de 1956 al que se hace referencia a continuación ha sido ampliamente seguido por su marco para una variedad de sistemas algebraicos particulares, mientras que su artículo de 1963 es notable por su discusión de álgebras con operaciones que están solo parcialmente definidas, siendo ejemplos típicos de esto las categorías y los grupoides. Esto nos lleva al tema del álgebra de dimensiones superiores que puede definirse como el estudio de teorías algebraicas con operaciones parciales cuyos dominios están definidos bajo condiciones geométricas. Ejemplos notables de esto son varias formas de categorías y grupoides de dimensiones superiores.
El álgebra universal proporciona un lenguaje natural para el problema de satisfacción de restricciones (CSP) . CSP se refiere a una clase importante de problemas computacionales donde, dada un álgebra relacional A y una oración existencial sobre esta álgebra, la pregunta es averiguar si se puede satisfacer en A. El álgebra A suele ser fija, de modo que CSP A se refiere al problema cuya instancia es solo la oración existencial .
Se demuestra que todo problema computacional puede formularse como CSP A para algún álgebra A. [1 ]
Por ejemplo, el problema de n -coloración puede enunciarse como CSP del álgebra ({0, 1, ..., n −1}, ≠) , es decir, un álgebra con n elementos y una única relación, la desigualdad.
La conjetura de dicotomía (probada en abril de 2017) establece que si A es un álgebra finita, entonces CSP A es P o NP-completo . [2]
El álgebra universal también se ha estudiado utilizando las técnicas de la teoría de categorías . En este enfoque, en lugar de escribir una lista de operaciones y ecuaciones obedecidas por esas operaciones, se puede describir una estructura algebraica utilizando categorías de un tipo especial, conocidas como teorías de Lawvere o, de manera más general, teorías algebraicas . Alternativamente, se pueden describir estructuras algebraicas utilizando mónadas . Los dos enfoques están estrechamente relacionados, y cada uno tiene sus propias ventajas. [3] En particular, cada teoría de Lawvere da una mónada en la categoría de conjuntos, mientras que cualquier mónada "finitaria" en la categoría de conjuntos surge de una teoría de Lawvere. Sin embargo, una mónada describe estructuras algebraicas dentro de una categoría particular (por ejemplo, la categoría de conjuntos), mientras que las teorías algebraicas describen la estructura dentro de cualquiera de una gran clase de categorías (es decir, aquellas que tienen productos finitos ).
Un desarrollo más reciente en la teoría de categorías es la teoría de operados : un operado es un conjunto de operaciones, similar a un álgebra universal, pero restringido en el sentido de que las ecuaciones solo se permiten entre expresiones con las variables, sin que se permita la duplicación u omisión de variables. Por lo tanto, los anillos pueden describirse como las llamadas "álgebras" de algunos operados, pero no los grupos, ya que la ley gg −1 = 1 duplica la variable g en el lado izquierdo y la omite en el lado derecho. Al principio, esto puede parecer una restricción problemática, pero la recompensa es que los operados tienen ciertas ventajas: por ejemplo, se pueden hibridar los conceptos de anillo y espacio vectorial para obtener el concepto de álgebra asociativa , pero no se puede formar un híbrido similar de los conceptos de grupo y espacio vectorial.
Otro desarrollo es el álgebra parcial , en la que los operadores pueden ser funciones parciales . Ciertas funciones parciales también pueden manejarse mediante una generalización de las teorías de Lawvere conocidas como "teorías esencialmente algebraicas". [4]
Otra generalización del álgebra universal es la teoría de modelos , que a veces se describe como "álgebra universal + lógica". [5]
En el libro Tratado sobre álgebra universal de Alfred North Whitehead , publicado en 1898, el término álgebra universal tenía esencialmente el mismo significado que tiene hoy. Whitehead atribuye a William Rowan Hamilton y Augustus De Morgan la creación del tema, y a James Joseph Sylvester la creación del término. [6] : v
En su momento, estructuras como las álgebras de Lie y los cuaterniones hiperbólicos llamaron la atención sobre la necesidad de ampliar las estructuras algebraicas más allá de la clase asociativamente multiplicativa. En una reseña, Alexander Macfarlane escribió: "La idea principal de la obra no es la unificación de los diversos métodos, ni la generalización del álgebra ordinaria para incluirlos, sino más bien el estudio comparativo de sus diversas estructuras". [7] En ese momento, el álgebra de la lógica de George Boole constituía un fuerte contrapunto al álgebra de números ordinaria, por lo que el término "universal" sirvió para calmar las sensibilidades tensas.
Los primeros trabajos de Whitehead buscaban unificar los cuaterniones (debido a Hamilton), la Ausdehnungslehre de Grassmann y el álgebra de lógica de Boole. Whitehead escribió en su libro:
Sin embargo, Whitehead no obtuvo resultados de carácter general. El trabajo sobre el tema fue mínimo hasta principios de la década de 1930, cuando Garrett Birkhoff y Øystein Ore comenzaron a publicar sobre álgebras universales. Los avances en metamatemáticas y teoría de categorías en las décadas de 1940 y 1950 impulsaron el campo, en particular el trabajo de Abraham Robinson , Alfred Tarski , Andrzej Mostowski y sus estudiantes. [8]
En el período entre 1935 y 1950, la mayoría de los artículos se escribieron en la línea sugerida por los artículos de Birkhoff, tratando de álgebras libres , congruencia y redes de subálgebras, y teoremas de homomorfismo. Aunque el desarrollo de la lógica matemática había hecho posibles las aplicaciones al álgebra, se produjeron lentamente; los resultados publicados por Anatoly Maltsev en la década de 1940 pasaron desapercibidos debido a la guerra. La conferencia de Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en Cambridge marcó el comienzo de un nuevo período en el que se desarrollaron aspectos de la teoría de modelos, principalmente por el propio Tarski, así como por CC Chang, Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndon y otros.
A finales de la década de 1950, Edward Marczewski [9] enfatizó la importancia de las álgebras libres, lo que llevó a la publicación de más de 50 artículos sobre la teoría algebraica de las álgebras libres por el propio Marczewski, junto con Jan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik y otros.
A partir de la tesis de William Lawvere en 1963, las técnicas de la teoría de categorías han cobrado importancia en el álgebra universal. [10]
