El álgebra universal (a veces llamada álgebra general ) es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en sí mismas, no ejemplos ("modelos") de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de tomar grupos particulares como objeto de estudio, en álgebra universal se toma la clase de grupos como objeto de estudio.
En álgebra universal, un álgebra (o estructura algebraica ) es un conjunto A junto con una colección de operaciones sobre A.
Una operación n - aria en A es una función que toma n elementos de A y devuelve un único elemento de A. Por lo tanto, una operación 0-aria (u operación nula ) se puede representar simplemente como un elemento de A , o una constante , a menudo denotada por una letra como a . Una operación 1-aria (u operación unaria ) es simplemente una función de A a A , a menudo denotada por un símbolo colocado delante de su argumento, como ~ x . Una operación biaria (u operación binaria ) a menudo se denota mediante un símbolo colocado entre sus argumentos (también llamado notación infija ), como x ∗ y . Las operaciones de aridad superior o no especificada generalmente se indican mediante símbolos de función, con los argumentos colocados entre paréntesis y separados por comas, como f ( x , y , z ) o f ( x 1 ,..., x n ). Una forma de hablar de un álgebra, entonces, es refiriéndose a ella como un álgebra de cierto tipo , donde es una secuencia ordenada de números naturales que representa la aridad de las operaciones del álgebra. Sin embargo, algunos investigadores también permiten operaciones infinitas , como donde J es un conjunto de índices infinito , que es una operación en la teoría algebraica de redes completas .
Una vez especificadas las operaciones, la naturaleza del álgebra se define aún más mediante axiomas , que en álgebra universal a menudo toman la forma de identidades o leyes ecuacionales. Un ejemplo es el axioma asociativo para una operación binaria, que viene dado por la ecuación x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . Se pretende que el axioma se cumpla para todos los elementos x , y y z del conjunto A.
Una colección de estructuras algebraicas definidas por identidades se denomina variedad o clase ecuacional .
Restringir el estudio a variedades descarta:
El estudio de las clases ecuacionales puede verse como una rama especial de la teoría de modelos , que normalmente se ocupa de estructuras que sólo tienen operaciones (es decir, el tipo puede tener símbolos para funciones pero no para relaciones distintas de la igualdad), y en la que el lenguaje utilizado para hablar de estas estructuras utilizan sólo ecuaciones.
No todas las estructuras algebraicas en un sentido más amplio entran en este ámbito. Por ejemplo, los grupos ordenados implican una relación de orden, por lo que no entrarían dentro de este ámbito.
La clase de campos no es una clase ecuacional porque no existe ningún tipo (o "firma") en el que todas las leyes de campo puedan escribirse como ecuaciones (las inversas de los elementos se definen para todos los elementos distintos de cero en un campo, por lo que la inversión no puede ser añadido al tipo).
Una ventaja de esta restricción es que las estructuras estudiadas en álgebra universal se pueden definir en cualquier categoría que tenga productos finitos . Por ejemplo, un grupo topológico es solo un grupo en la categoría de espacios topológicos .
La mayoría de los sistemas algebraicos habituales de las matemáticas son ejemplos de variedades, pero no siempre de forma obvia, ya que las definiciones habituales suelen implicar cuantificación o desigualdades.
Como ejemplo, considere la definición de grupo . Por lo general, un grupo se define en términos de una única operación binaria ∗, sujeta a los axiomas:
(Algunos autores también utilizan el axioma de " cierre " de que x ∗ y pertenece a A siempre que x e y lo sean, pero aquí esto ya está implícito al llamar a ∗ una operación binaria).
Esta definición de grupo no se ajusta inmediatamente al punto de vista del álgebra universal, porque los axiomas del elemento de identidad y de la inversión no se expresan puramente en términos de leyes ecuacionales que se cumplan universalmente "para todos..." elementos, sino que también implican el cuantificador existencial "existe...". Los axiomas de grupo se pueden expresar como ecuaciones cuantificadas universalmente especificando, además de la operación binaria ∗, una operación nula e y una operación unaria ~, con ~ x generalmente escrito como x −1 . Los axiomas quedan:
En resumen, la definición habitual tiene:
mientras que la definición del álgebra universal tiene:
Un punto clave es que las operaciones adicionales no agregan información, sino que se derivan únicamente de la definición habitual de un grupo. Aunque la definición habitual no especificaba de forma única el elemento de identidad e , un ejercicio sencillo muestra que es único, al igual que lo es el inverso de cada elemento.
El punto de vista del álgebra universal se adapta bien a la teoría de categorías. Por ejemplo, al definir un objeto grupal en la teoría de categorías, donde el objeto en cuestión puede no ser un conjunto, se deben usar leyes ecuacionales (que tienen sentido en categorías generales), en lugar de leyes cuantificadas (que se refieren a elementos individuales). Además, la inversa y la identidad se especifican como morfismos en la categoría. Por ejemplo, en un grupo topológico , el inverso no sólo debe existir por elementos, sino que debe dar un mapeo continuo (un morfismo). Algunos autores también exigen que el mapa de identidad sea una inclusión cerrada (una cofibración ).
La mayoría de las estructuras algebraicas son ejemplos de álgebras universales.
Ejemplos de álgebras relacionales incluyen semiredes , celosías y álgebras booleanas .
Suponemos que el tipo, se ha solucionado. Luego hay tres construcciones básicas en álgebra universal: imagen homomórfica, subálgebra y producto.
Un homomorfismo entre dos álgebras A y B es una función h : A → B del conjunto A al conjunto B tal que, para cada operación f A de A y la correspondiente f B de B (de aridad, digamos, n ), h ( f A ( x 1 , ..., x n )) = f B ( h ( x 1 ), ..., h ( x n )). (A veces, los subíndices de f se eliminan cuando del contexto queda claro de qué álgebra proviene la función). Por ejemplo, si e es una constante (operación nula), entonces h ( e A ) = e B . Si ~ es una operación unaria, entonces h (~ x ) = ~ h ( x ). Si ∗ es una operación binaria, entonces h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). Etcétera. Algunas de las cosas que se pueden hacer con los homomorfismos, así como las definiciones de ciertos tipos especiales de homomorfismos, se enumeran en Homomorfismo . En particular, podemos tomar la imagen homomórfica de un álgebra, h ( A ).
Una subálgebra de A es un subconjunto de A que está cerrado bajo todas las operaciones de A. Un producto de algún conjunto de estructuras algebraicas es el producto cartesiano de los conjuntos con las operaciones definidas en forma de coordenadas.
Además de su enfoque unificador, el álgebra universal también ofrece teoremas profundos y ejemplos y contraejemplos importantes. Proporciona un marco útil para quienes pretenden iniciar el estudio de nuevas clases de álgebras. Puede permitir el uso de métodos inventados para algunas clases particulares de álgebras en otras clases de álgebras, reformulando los métodos en términos de álgebra universal (si es posible) y luego interpretándolos como aplicados a otras clases. También ha proporcionado una aclaración conceptual; como dice JDH Smith, "Lo que parece confuso y complicado en un marco particular puede resultar simple y obvio en el marco general adecuado".
En particular, el álgebra universal se puede aplicar al estudio de monoides , anillos y redes . Antes de que apareciera el álgebra universal, muchos teoremas (en particular los teoremas de isomorfismo ) se demostraban por separado en todas estas clases, pero con el álgebra universal se pueden demostrar de una vez por todas para todo tipo de sistema algebraico.
El artículo de 1956 de Higgins al que se hace referencia a continuación ha tenido un buen seguimiento por su marco para una variedad de sistemas algebraicos particulares, mientras que su artículo de 1963 se destaca por su discusión de álgebras con operaciones que están solo parcialmente definidas, siendo ejemplos típicos de esto categorías y grupoides. . Esto lleva al tema del álgebra de dimensiones superiores , que puede definirse como el estudio de teorías algebraicas con operaciones parciales cuyos dominios se definen en condiciones geométricas. Ejemplos notables de estos son varias formas de categorías y grupoides de dimensiones superiores.
El álgebra universal proporciona un lenguaje natural para el problema de satisfacción de restricciones (CSP) . CSP se refiere a una clase importante de problemas computacionales donde, dada un álgebra relacional A y una oración existencial sobre esta álgebra , la pregunta es averiguar si se puede satisfacer en A. El álgebra A suele ser fija, de modo que CSP A se refiere al problema cuya instancia es sólo la oración existencial .
Está demostrado que todo problema computacional puede formularse como CSP A para algún álgebra A. [1]
Por ejemplo, el problema de n -coloración se puede plantear como CSP del álgebra ({0, 1, ..., n −1}, ≠) , es decir, un álgebra con n elementos y una única relación, la desigualdad.
La conjetura de la dicotomía (probada en abril de 2017) establece que si A es un álgebra finita, entonces CSP A es P o NP-completo . [2]
El álgebra universal también se ha estudiado utilizando las técnicas de la teoría de categorías . En este enfoque, en lugar de escribir una lista de operaciones y ecuaciones que obedecen a esas operaciones, se puede describir una estructura algebraica utilizando categorías de un tipo especial, conocidas como teorías de Lawvere o, más generalmente, teorías algebraicas . Alternativamente, se pueden describir estructuras algebraicas utilizando mónadas . Los dos enfoques están estrechamente relacionados y cada uno tiene sus propias ventajas. [3] En particular, cada teoría de Lawvere da una mónada en la categoría de conjuntos, mientras que cualquier mónada "finitaria" en la categoría de conjuntos surge de una teoría de Lawvere. Sin embargo, una mónada describe estructuras algebraicas dentro de una categoría particular (por ejemplo, la categoría de conjuntos), mientras que las teorías algebraicas describen estructuras dentro de una gran clase de categorías (es decir, aquellas que tienen productos finitos ).
Un desarrollo más reciente en la teoría de categorías es la teoría de operadas : una operada es un conjunto de operaciones, similar a un álgebra universal, pero restringida en el sentido de que solo se permiten ecuaciones entre expresiones con variables, sin duplicación ni omisión de variables. Por tanto, los anillos pueden describirse como las llamadas "álgebras" de alguna operada, pero no como grupos, ya que la ley gg −1 = 1 duplica la variable g en el lado izquierdo y la omite en el lado derecho. Al principio esto puede parecer una restricción problemática, pero la recompensa es que las operadas tienen ciertas ventajas: por ejemplo, se pueden hibridar los conceptos de anillo y espacio vectorial para obtener el concepto de álgebra asociativa , pero no se puede formar un híbrido similar de los conceptos de grupo y espacio vectorial.
Otro desarrollo es el álgebra parcial donde los operadores pueden ser funciones parciales . Ciertas funciones parciales también pueden manejarse mediante una generalización de las teorías de Lawvere conocidas como "teorías esencialmente algebraicas". [4]
Otra generalización del álgebra universal es la teoría de modelos , que a veces se describe como "álgebra universal + lógica". [5]
En el libro de Alfred North Whitehead Tratado sobre álgebra universal, publicado en 1898, el término álgebra universal tenía esencialmente el mismo significado que tiene hoy. Whitehead le da crédito a William Rowan Hamilton y Augustus De Morgan como los creadores del tema, y a James Joseph Sylvester por acuñar el término en sí. [6] :v
En ese momento, estructuras como las álgebras de Lie y los cuaterniones hiperbólicos llamaron la atención sobre la necesidad de expandir las estructuras algebraicas más allá de la clase asociativamente multiplicativa. En una reseña, Alexander Macfarlane escribió: "La idea principal del trabajo no es la unificación de los diversos métodos, ni la generalización del álgebra ordinaria para incluirlos, sino más bien el estudio comparativo de sus diversas estructuras". [7] En ese momento, el álgebra lógica de George Boole constituía un fuerte contrapunto al álgebra de números ordinaria, por lo que el término "universal" sirvió para calmar las sensibilidades tensas.
Los primeros trabajos de Whitehead buscaron unificar los cuaterniones (debido a Hamilton), el Ausdehnungslehre de Grassmann y el álgebra lógica de Boole. Whitehead escribió en su libro:
Whitehead, sin embargo, no obtuvo resultados de carácter general. El trabajo sobre el tema fue mínimo hasta principios de la década de 1930, cuando Garrett Birkhoff y Øystein Ore comenzaron a publicar sobre álgebras universales. Los avances en metamatemáticas y teoría de categorías en las décadas de 1940 y 1950 impulsaron este campo, particularmente el trabajo de Abraham Robinson , Alfred Tarski , Andrzej Mostowski y sus estudiantes. [8]
En el período comprendido entre 1935 y 1950, la mayoría de los artículos se escribieron siguiendo las líneas sugeridas por los artículos de Birkhoff, que trataban sobre álgebras libres , redes de congruencia y subálgebra, y teoremas de homomorfismo. Aunque el desarrollo de la lógica matemática había hecho posibles las aplicaciones al álgebra, éstas se produjeron lentamente; Los resultados publicados por Anatoly Maltsev en la década de 1940 pasaron desapercibidos debido a la guerra. La conferencia de Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en Cambridge marcó el comienzo de un nuevo período en el que los aspectos de la teoría de modelos fueron desarrollados, principalmente por el propio Tarski, así como por CC Chang, Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndon y otros.
A finales de la década de 1950, Edward Marczewski [9] enfatizó la importancia de las álgebras libres, lo que llevó a la publicación de más de 50 artículos sobre la teoría algebraica de las álgebras libres por el propio Marczewski, junto con Jan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik y otros.
A partir de la tesis de William Lawvere en 1963, las técnicas de la teoría de categorías han adquirido importancia en el álgebra universal. [10]
