Una clase de grupos es una colección teórica de grupos que satisface la propiedad de que si G está en la colección, entonces todo grupo isomorfo a G también está en la colección. Este concepto surgió de la necesidad de trabajar con un conjunto de grupos que satisficieran cierta propiedad especial (por ejemplo, finitud o conmutatividad ). Dado que la teoría de conjuntos no admite el "conjunto de todos los grupos", es necesario trabajar con el concepto más general de clase .
Definición
Una clase de grupos es una colección de grupos tales que si y entonces . Los grupos de la clase se denominan - grupos .
Para un conjunto de grupos , denotamos por la clase más pequeña de grupos que contienen . En particular, para un grupo , denota su clase de isomorfismo .
Ejemplos
Los ejemplos más comunes de clases de grupos son:
Producto de clases de grupos
Dadas dos clases de grupos y se define el producto de clases
Esta construcción nos permite definir recursivamente la potencia de una clase estableciendo
- y
Cabe señalar que esta operación binaria sobre la clase de clases de grupos no es asociativa ni conmutativa . Por ejemplo, considérese el grupo alterno de grado 4 (y orden 12); este grupo pertenece a la clase porque tiene como subgrupo al grupo , que pertenece a , y además , que está en . Sin embargo no tiene ningún subgrupo cíclico normal no trivial , por lo que . Entonces .
Sin embargo, de la definición se desprende claramente que para cualesquiera tres clases de grupos , , y ,
Mapas de clases y operaciones de cierre
Un mapa de clase c es un mapa que asigna una clase de grupos a otra clase de grupos . Se dice que un mapa de clase es una operación de cierre si satisface las siguientes propiedades:
- c es expansivo:
- c es idempotente :
- c es monótona: Si entonces
Algunos de los ejemplos más comunes de operaciones de cierre son:
Referencias
- Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Clases de grupos finitos, Matemáticas y sus aplicaciones (Springer), vol. 584, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3, Sr. 2241927
- Dörk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992), Grupos solubles finitos, Exposiciones de Gruyter en Matemáticas, vol. 4, Berlín: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-012892-5, Sr. 1169099
Véase también
Formación