La cohomología motívica es una invariante de variedades algebraicas y de esquemas más generales . Es un tipo de cohomología relacionada con motivos e incluye el anillo de Chow de ciclos algebraicos como caso especial. Algunos de los problemas más profundos de la geometría algebraica y la teoría de números son intentos de comprender la cohomología motívica.
Sea X un esquema de tipo finito sobre un campo k . Un objetivo clave de la geometría algebraica es calcular los grupos de Chow de X , porque brindan información sólida sobre todas las subvariedades de X. Los grupos Chow de X tienen algunas de las propiedades formales de la homología Borel-Moore en topología, pero faltan algunas cosas. Por ejemplo, para un subesquema cerrado Z de X , existe una secuencia exacta de grupos Chow, la secuencia de localización
mientras que en topología esto sería parte de una secuencia larga y exacta .
Este problema se resolvió generalizando los grupos de Chow a una familia de grupos bigradados, grupos de homología motívica (Borel-Moore) (que Bloch llamó por primera vez grupos de Chow superiores ). [1] Es decir, para cada esquema X de tipo finito sobre un campo k y enteros i y j , tenemos un grupo abeliano Hi ( X , Z ( j )), siendo el grupo Chow habitual el caso especial .
Para un subesquema cerrado Z de un esquema X , existe una secuencia de localización larga y exacta para los grupos de homología motívica, que termina con la secuencia de localización para los grupos de Chow:
De hecho, esta es una de una familia de cuatro teorías construidas por Voevodsky : cohomología motívica, cohomología motívica con soporte compacto, homología motívica de Borel-Moore (como arriba) y homología motívica con soporte compacto. [2] Estas teorías tienen muchas de las propiedades formales de las teorías correspondientes en topología. Por ejemplo, los grupos de cohomología motívica H i (X, Z ( j )) forman un anillo bigrado para cada esquema X de tipo finito sobre un campo. Cuando X es suave de dimensión n sobre k , hay un isomorfismo de dualidad de Poincaré
En particular, el grupo Chow CH i ( X ) de los ciclos de codimensión i es isomorfo a H 2 i ( X , Z ( i )) cuando X es suave sobre k .
La cohomología motívica H i ( X , Z ( j ) ) de un esquema suave X sobre k es la cohomología de X en la topología de Zariski con coeficientes en un cierto complejo de gavillas Z (j) en X . (Algunas propiedades son más fáciles de probar usando la topología de Nisnevich , pero esto da los mismos grupos de cohomología motívicos. [3] ) Por ejemplo, Z (j) es cero para j < 0, Z (0) es la gavilla constante Z , y Z (1) es isomorfo en la categoría derivada de X a G m [−1]. [4] Aquí G m (el grupo multiplicativo ) denota el haz de funciones regulares invertibles , y el desplazamiento [−1] significa que este haz se ve como un complejo de grado 1.
Las cuatro versiones de homología y cohomología motívicas se pueden definir con coeficientes en cualquier grupo abeliano. Las teorías con diferentes coeficientes están relacionadas por el teorema del coeficiente universal , como en la topología.
Por Bloch, Lichtenbaum , Friedlander , Suslin y Levine, existe una secuencia espectral desde la cohomología motívica hasta la teoría K algebraica para cada esquema suave X sobre un campo, análoga a la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en topología:
Como en la topología, la secuencia espectral degenera después de tensarse con los racionales. [5] Para esquemas arbitrarios de tipo finito sobre un campo (no necesariamente suave), existe una secuencia espectral análoga de la homología motívica a la teoría G (la teoría K de haces coherentes , en lugar de haces vectoriales ).
La cohomología motívica ya proporciona una rica invariante para los campos. (Tenga en cuenta que un campo k determina un esquema Spec( k ), para el cual se define la cohomología motívica.) Aunque la cohomología motívica H i ( k , Z ( j )) para los campos k está lejos de entenderse en general, existe una descripción cuando yo = j :
donde K j M ( k ) es el jésimo grupo K de Milnor de k . [6] Dado que la teoría K de Milnor de un campo se define explícitamente por generadores y relaciones, esta es una descripción útil de una parte de la cohomología motívica de k .
Sea X un esquema suave sobre un campo k y sea m un entero positivo que es invertible en k . Luego hay un homomorfismo natural (el mapa del ciclo ) de la cohomología motívica a la cohomología étale :
donde Z / m ( j ) a la derecha significa la gavilla étale (μ m ) ⊗ j , siendo μ m las m enésimas raíces de la unidad. Esto generaliza el mapa del ciclo desde el anillo de Chow de una variedad suave hasta la cohomología étale.
Un objetivo frecuente en geometría algebraica o teoría de números es calcular la cohomología motívica, mientras que la cohomología étale suele ser más fácil de entender. Por ejemplo, si el campo base k son los números complejos, entonces la cohomología étale coincide con la cohomología singular (con coeficientes finitos). Un poderoso resultado demostrado por Voevodsky, conocido como la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum , dice que muchos grupos de cohomología motívicos son de hecho isomorfos a los grupos de cohomología étale. Esto es una consecuencia del teorema del isomorfismo del residuo de norma . Es decir, la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum (teorema de Voevodsky) dice que para un esquema suave X sobre un campo k y m un entero positivo invertible en k , el mapa del ciclo
es un isomorfismo para todo j ≥ i y es inyectivo para todo j ≥ i − 1. [7]
Para cualquier campo k y anillo conmutativo R , Voevodsky definió una categoría triangulada lineal R llamada categoría derivada de motivos sobre k con coeficientes en R , DM( k ; R ). Cada esquema X sobre k determina dos objetos en DM llamados motivo de X , M( X ), y motivo apoyado compactamente de X , Mc ( X ) ; los dos son isomorfos si X es propio de k .
Un punto básico de la categoría derivada de motivos es que los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica surgen como conjuntos de morfismos en esta categoría. Para describir esto, primero observe que hay motivos Tate R ( j ) en DM( k ; R ) para todos los números enteros j , de modo que el motivo del espacio proyectivo es una suma directa de los motivos Tate:
donde M ↦ M [1] denota el desplazamiento o "functor de traducción" en la categoría triangulada DM( k ; R ). En estos términos, la cohomología motívica (por ejemplo) está dada por
para cada esquema X de tipo finito sobre k .
Cuando los coeficientes R son los números racionales, una versión moderna de una conjetura de Beilinson predice que la subcategoría de objetos compactos en DM(k; Q ) es equivalente a la categoría derivada acotada de una categoría abeliana MM( k ), la categoría de motivos mixtos sobre k . En particular, la conjetura implicaría que los grupos de cohomología motívica pueden identificarse con grupos Ext en la categoría de motivos mixtos. [8] Esto está lejos de ser conocido. Concretamente, la conjetura de Beilinson implicaría la conjetura de Beilinson- Soulé de que H i (X, Q ( j )) es cero para i < 0, lo cual se conoce sólo en unos pocos casos.
Por el contrario, una variante de la conjetura de Beilinson-Soulé, junto con las conjeturas estándar de Grothendieck y las conjeturas de Murre sobre los motivos de Chow, implicaría la existencia de una categoría abeliana MM ( k ) como corazón de una estructura t en DM ( k ; Q ) . [9] Se necesitaría más para identificar grupos Ext en MM ( k ) con cohomología motívica.
Para k un subcampo de los números complejos, Nori ha definido un candidato para la categoría abeliana de motivos mixtos. [10] Si existe una categoría MM ( k ) con las propiedades esperadas (en particular, que el functor de realización de Betti de MM ( k ) a Q -espacios vectoriales es fiel ), entonces debe ser equivalente a la categoría de Nori.
Sea X una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo numérico. La conjetura de Bloch-Kato sobre los valores de funciones L predice que el orden de desaparición de una función L de X en un punto entero es igual al rango de un grupo de cohomología motívico adecuado. Este es uno de los problemas centrales de la teoría de números, que incorpora conjeturas anteriores de Deligne y Beilinson. La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es un caso especial. Más precisamente, la conjetura predice el coeficiente principal de la función L en un punto entero en términos de reguladores y un par de alturas en cohomología motívica.
El primer signo claro de una posible generalización de los grupos de Chow a una teoría de cohomología motívica más general para variedades algebraicas fue la definición y desarrollo de la teoría K algebraica de Quillen (1973), generalizando el grupo de Grothendieck K 0 de haces de vectores. A principios de la década de 1980, Beilinson y Soulé observaron que las operaciones de Adams daban una división de la teoría K algebraica tensorizada con los racionales; los sumandos ahora se llaman cohomología motívica (con coeficientes racionales). Beilinson y Lichtenbaum hicieron conjeturas influyentes que predijeron la existencia y las propiedades de la cohomología motívica. La mayoría de sus conjeturas, aunque no todas, ya han sido demostradas.
La definición de Bloch de grupos Chow superiores (1986) fue la primera definición integral (en oposición a racional) de homología motívica para esquemas sobre un campo k (y, por tanto, cohomología motívica, en el caso de esquemas suaves). La definición de grupos Chow superiores de X es una generalización natural de la definición de grupos Chow, que involucra ciclos algebraicos en el producto de X con espacio afín que se encuentran con un conjunto de hiperplanos (vistos como las caras de un simplex ) en la dimensión esperada.
Finalmente, Voevodsky (basándose en su trabajo con Suslin) definió los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica en 2000, junto con la categoría derivada de motivos. Hanamura y Levine también definieron categorías relacionadas.
El trabajo de Elmanto y Morrow [11] ha extendido la construcción de la cohomología motívica a esquemas arbitrarios cuasicompactos y cuasi separados sobre un campo.
![{\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84342525df2e30f1ab854fa13211aac96453b46)
![{\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9937f305ae94970ecf8a015b384b96c57ac91e35)
{{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )