Tetraedro ortocéntrico

Su punto de convergencia se designa entonces como el ortocentro del tetraedro.

Fue estudiado por Simon Lhuilier en 1782[1]​ y más adelante por G. de Longchamps en 1890, quien le dio el nombre.

y se hace lo mismo con los demás pares de aristas.

los ortocentros de las caras opuestas a los índices.

de este plano se cortan en un punto

, y de manera similar se demostraría que es ortogonal a

, es decir, es la altura que viene de

y estas dos alturas se cruzan.

Además, la denominada relación de Euler[3]​

{\textstyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {DB}}+{\overrightarrow {AD}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=0}

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si los pies de las cuatro alturas son los ortocentros de las caras, y basta que un pie de altura lo sea para que el tetraedro sea ortocéntrico.

que está en este plano es por tanto ortogonal a

y se podría hacer lo mismo con los demás pares de aristas opuestas.

Por lo tanto, se obtiene cualquier tetraedro ortocéntrico partiendo de un triángulo y tomando el cuarto vértice en la perpendicular al plano de este triángulo que pasa por el ortocentro.

Es posible inscribir un tetraedro en el paralelepípedo cuyos tres pares de caras paralelas estén incluidos en los pares de planos paralelos que contienen dos aristas opuestas.

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si este paralelepípedo circunscrito tiene sus aristas de la misma longitud, en otras palabras es un romboedro.

Si cuatro caras de un paralelepípedo son rombos, entonces todas las aristas tienen longitudes iguales y las seis caras son rombos.

De ello se deduce que si dos pares de aristas opuestas en un tetraedro se forman a partir de aristas ortogonales, entonces el tercer par tiene la misma propiedad y el tetraedro es ortocéntrico.

Escribiendo la misma relación para las aristas

, se obtiene que esta condición es necesaria y suficiente.

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si sus tres bimedianas (que unen los puntos medios de dos aristas opuestas) tienen la misma longitud.

[5]​[3]​ En efecto, las bimedianas son los segmentos que unen los centros de dos caras opuestas del paralelepípedo circunscrito, que tienen la misma longitud que las aristas paralelas a ellas.

Por el contrario, un tetraedro cuyas bialturas son concurrentes es ortocéntrico, equifacial, o está formado por un diamante oblicuo y sus diagonales.

[6]​[7]​[8]​ Se tiene el siguiente teorema, debido a Gaspard Monge: En cualquier tetraedro, los seis planos que pasan por el medio de una arista y ortogonales a la arista opuesta pasan por el mismo punto M que es el simétrico del centro O de la esfera circunscrita respecto al centro de gravedad G Si el tetraedro no es equifacial, en cuyo caso O=G, estos tres puntos están alineados en la denominada recta de Euler por analogía con el caso del triángulo.

y, por simetría, la misma propiedad se cumple para los seis planos similares.

{\displaystyle {\overrightarrow {MI}}+{\overrightarrow {MJ}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {MD}})=2{\overrightarrow {MO}}+2{\overrightarrow {OG}}}

Si el tetraedro es ortocéntrico, el plano que pasa por el centro de

Pertenece por tanto a las tres bialturas, que coinciden en

Es la imagen de la esfera circunscrita[11]​[3]​ por la homotecia con centro G y razón -1/3.

Una primera fórmula es: donde a, b son las longitudes de dos aristas opuestas y