Teorema de los incírculos iguales
En geometría, el teorema de los incírculos iguales deriva de un Sangaku japonés, de acuerdo con la construcción siguiente: se dibuja una serie de rayos desde un punto dado hacia una recta dada, de tal manera que los círculos inscritos de los triángulos formados por rayos adyacentes y la recta base son iguales.
En la ilustración, los círculos azules iguales definen el espacio entre los rayos, tal como se describe.
El caso de dos de cada tres rayos se ilustra arriba con los círculos verdes, que son todos iguales.
Por el hecho de que el teorema no depende del ángulo del rayo inicial, se puede ver que el teorema pertenece propiamente al análisis, más que a la geometría, y puede relacionarse con una función de escala continua que define el espaciado de los rayos.
De hecho, esta función es el seno hiperbólico.
El teorema es un corolario directo del siguiente lema: LemaSupóngase que el rayo n forma un ángulo
con la normal a la línea de base.
se parametriza de acuerdo con la ecuación,
siendo constantes reales, definen una secuencia de rayos que satisfacen la condición de los incírculos iguales y, además, cualquier secuencia de rayos que satisfaga la condición puede producirse mediante la elección adecuada de las constantes
En el diagrama, las líneas PS y PT son rayos adyacentes que forman ángulos
con la línea PR, que es perpendicular a la línea de base, RST.
La línea QXOY es paralela a la línea de base y pasa a través de O, el centro del incírculo del
PST, que es tangente a los rayos en W y Z. Además, la línea PQ tiene longitud
y la línea QR tiene longitud
PQY, y de XY = XO + OY se obtiene que Esta relación en un conjunto de ángulos,
, expresa la condición de los incírculos iguales.
Para probar el lema, se establece que
= sinh ( a + n b )
, de donde se deduce que
= cosh ( a + n b )
, se aplican las reglas de adición para
, y se verifica que la relación de los incírculos iguales se cumple estableciendo que Esto da una expresión para el parámetro
, es posible obtener una expresión para los radios
