Teorema de Kawasaki

Enuncia que el patrón es plegable plano si y sólo si sumando y restando alternativamente los ángulos entre los pliegues alrededor del vértice da una suma alternada de cero.El objetivo es determinar si es posible doblar el papel de forma que cada línea quede doblada, no haya más dobleces que las de las líneas, y la hoja de papel doblada quede plana.Esto se deduce, por ejemplo, del teorema de Maekawa, que tiene por corolario (véase el artículo sobre este teorema) que si una figura es plana, el número de pliegues en cada vértice es par.Por contrarrecíproco, si hay un número impar de pliegues, la figura no se doblará en un plano.Por tanto, supongamos que un patrón de pliegues consiste enEntonces, el teorema de Kawasaki afirma que el patrón se puede dobrlar en un plano si y sólo si la suma y resta alternada de los ángulos da cero:[1]​ Para demostrar que la condición de Kawasaki es necesaria para cualquier figura doblada plana, es suficiente observar que, en cada pliegue, la orientación del papel se invierte.Por tanto, si el primer pliegue de la figura doblada se coloca sobre un eje, el segundo tendrá que estar rotado respecto al primero un ángulo(porque el segundo ángulo tiene una orientación opuesta al primero), y así sucesivamente.Después de todos los pliegues, el papel debe volver a donde empezó para se junten los extremos del mismo.Para ello, tenemos que describir cómo doblar un patrón de pliegue dado para que se doble en un plano.Esto es, debemos elegir si hacemos pliegues valle o montaña, y en qué orden.y alternando pliegues montaña y valle, colocando cada nueva solapa de papel debajo de los pliegues anteriores.asegura que la primera solapa sobresalga hacia la izquierda del resto de papel doblado, permitiendo que el último trozo se conecte de nuevo a él.Entonces, "pegamos" la doblez resultante al resto del patrón de pliegues.al agruparse estos últimos como se ha dicho antes.Como antes de la doblez ambas paridades sumaban un mismo ángulo, al perder las dosmás pequeño de entre los que quedan, hacemos los dos pliegues ya descritos y obtenemos el cono con dos líneas menos que sigue cumpliendo la condición de Kawasaki.Haciendo esto sucesivamente, acabaremos llegando al siguiente caso base, que sabemos resolver: un cono con dos líneas que determinan dos ángulos iguales, que se puede doblar en un plano trivialmente haciendo un pliegue montaña (o un pliegue valle) en cada una.Entonces, por inducción matemática, por este proceso, podemos transformar cualquier patrón con la condición de Kawasaki en un pliegue plano.La anterior demostración alternativa permite contar cuántas maneras hay de doblar el patrón en un plano.) podemos elegir entre dos opciones: hacer un pliegue valle y el otro montaña, o viceversa.líneas, como a cada paso eliminamos dos, tenemos que hacer esta elección[4]​A finales de la década de 1970, Kôdi Husimi y David A. Huffman observaron independientemente que figuras doblables planas con cuatro pliegues tenían ángulos opuestos que sumaban[5]​[6]​ Huffman incluyó el resultado en un artículo de 1976 sobre pliegues curvos,[7]​ y Husimi publicó el teorema de los cuatro pliegues en un libro sobre geometría del origami con su mujer Mitsue Husimi.[8]​ El mismo resultado fue publicado antes incluso, en un par de artículos de 1966 escritos por S. Murata que, además, incluían el caso para seis pliegues y el caso general del teorema de Maekawa.[14]​ El hecho de que la condición es suficiente (esto es, que patrones con un número par de pliegues cuyos ángulos alternados sumenson plegables planos) fue posiblemente enunciado por primera vez por Hull en 1994.[3]​ El mismo Kawasaki llamó al resultado teorema de Husimi en honor a Kôdi Husimi, y otros autores han seguido esta terminología.