Teorema de Erdős-Anning

El teorema de Erdős-Anning afirma que, siempre que un número infinito de puntos del plano tengan todos distancias enteras, los puntos se encuentran en una línea recta.El mismo resultado es válido en espacios euclidianos de dimensiones superiores.El teorema no puede reforzarse para obtener un límite finito del número de puntos: existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes de puntos que no están en una recta y tienen distancias enteras.El teorema debe su nombre a Paul Erdős y Norman H. Anning, que publicaron una demostración del mismo en 1945.[1]​ Erdős proporcionó posteriormente una demostración más sencilla, que también puede utilizarse para comprobar si un conjunto de puntos forma un grafo de Erdős-Diophantine, un sistema inextensible de puntos enteros con distancias enteras.Aunque no puede existir un conjunto infinito no colineal de puntos con distancias enteras, existen infinitos conjuntos no colineales de puntos cuyas distancias son números racionales.Esta construcción forma un conjunto denso en el círculo.[3]​ El problema (aún no resuelto) de Erdős-Ulam plantea si puede existir un conjunto de puntos a distancias racionales entre sí que forme un conjunto denso para todo el plano euclídeo.[4]​ Según Erdős, Stanisław Ulam se inspiró para plantear esta cuestión tras oír hablar a Erdős del teorema de Erdős-Anning.[5]​ Para cualquier conjunto finito S de puntos a distancias racionales entre sí, es posible encontrar un conjunto similar de puntos a distancias enteras entre sí, expandiendo S por un factor del mínimo común denominador de las distancias en S. Expandiendo de esta manera un subconjunto finito de la construcción del círculo unitario, se pueden construir conjuntos finitos arbitrariamente grandes de puntos no colineales con distancias enteras entre sí.[3]​ Sin embargo, incluir más puntos en S puede hacer que el factor de expansión aumente, por lo que esta construcción no permite transformar conjuntos infinitos de puntos a distancias racionales en conjuntos infinitos de puntos a distancias enteras.[1]​ Poco después de la publicación original del teorema de Erdős-Anning, Erdős proporcionó la siguiente demostración más sencilla.A continuación, se demuestra que este conjunto debe ser finito, utilizando un sistema de curvas para el que cada punto del conjunto dado se encuentra en un cruce de dos de las curvas.Más detalladamente, consta de los siguientes pasos:(también en azul); este par de rayos puede tratarse como una hipérbola degenerada a efectos de la demostración.[6]​ La dependencia cuadrática de este límite enpuede mejorarse significativamente: si un conjunto con distancias enteras y diámetropuntos, y si no es colineal, tiene tamaño[7]​ Una forma alternativa de enunciar el teorema es que un conjunto no colineal de puntos en el plano con distancias enteras sólo puede ampliarse añadiendo un número finito de puntos adicionales, antes de que no puedan añadirse más puntos.Un conjunto de puntos con coordenadas enteras y distancias enteras, al que no se pueden añadir más conservando ambas propiedades, forma un grafo de Erdős-Diofantina.[9]​ La demostración del teorema de Erdős-Anning puede utilizarse en un algoritmo para comprobar si un conjunto dado de puntos enteros con distancias enteras forma un grafo de Erdős-Diofantina: basta con encontrar todos los puntos de cruce de las hipérbolas utilizadas en la demostración y comprobar si alguno de los puntos resultantes también tiene coordenadas y distancias enteras respecto al conjunto dado[9].Como escribieron Anning y Erdős en su artículo original sobre este teorema, «mediante un argumento similar podemos demostrar que no podemos tener infinitos puntos en