Desigualdad triangular
La desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece: En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.
[1] Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales.
Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:
c < ( a + b )
donde a, b y c son los lados.
El teorema se pide como axioma para definir los espacios vectoriales normados (espacios vectoriales donde hay una norma
definida), resultando en la siguiente versión de la desigualdad triangular: En todo espacio vectorial normado
En particular, la recta real es un espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma.
Entre otras condiciones, se satisface la desigualdad triangular: Para cualesquiera dos números a y b se cumple:
cuya demostración es: (Ámbito → ℝ).
Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir: Sumando ambas inecuaciones: A su vez, usando la propiedad de valor absoluto
en la línea de arriba queda: La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:
donde n es un número natural, y los
Como casos iniciales observamos que para n=1:
es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica
Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado
Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.
Partimos de la siguiente expresión:
es un número real y
es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos:
Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos
la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener
Sin embargo, esta última expresión es precisamente
de manera que hemos demostrado
y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n. La desigualdad triangular puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):
Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de Lp(S).
Entonces f + g es de Lp(S), y se tiene
con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).
Esta desigualdad se llama desigualdad de Minkowski y está demostrada en su propio artículo.
Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo: para todos los números reales (o complejos) x1, ..., xn, y1, ..., yn y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).
