En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios Lp son espacios vectoriales con una norma.
un espacio medible, sea
y sean
elementos de
{\displaystyle L^{p}(S)}
{\displaystyle L^{p}(S)}
, y se tiene con la igualdad para el caso
si y sólo si
son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que
f = λ g
g = λ f
La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en
{\displaystyle L^{p}(S)}
Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer: para todos los números reales (o complejos)
Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen.
Esto se sigue de que En efecto, usando el hecho de que
h ( x ) =
{\displaystyle h(x)=x^{p}}
mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces tenemos que Ahora, se puede hablar legítimamente de
Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski.
Podemos suponer, pues, que
Usando la desigualdad de Hölder, De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por