Como integrante del equipo ruso, ha conquistado en tres ocasiones la Copa Federación participando en todas ellas en la final.
Su padre Aleksandr Kuznetsov es un entrenador de ciclismo que ha entrenado a cinco campeones mundiales y olímpicos entre los que se encuentran su madre Galina Tsareva quien es seis veces campeona mundial y sostiene 20 récords mundiales y su hermano Nikolai Kuznetsov medallista de plata en los Juegos Olímpicos de Atlanta 1996.
Svetlana probó hacer ciclismo a temprana edad, pero le resultó aburrido, en cambio sentía especial atracción hacia el tenis.
Ha llegado a cinco finales de Grand Slams en dobles con Martina Navratilova, Yelena Líjovtseva y Amélie Mauresmo como compañeras.
Sin embargo, en la final no pudo contra la ex número uno Justine Henin-Hardenne perdiendo 4-6, 4-6.