[1]​ Suárez comenzó a disputar torneos del circuito profesional WTA en 2008, después de que en años precedentes hubiera logrado vencer en varios torneos del circuito ITF, seis en individuales y dos en dobles.

Carla provenía de la fase previa y logró vencer a jugadoras como la francesa Amélie Mauresmo.

Aun así sus buenos resultados le permitieron debutar con el equipo español de Copa Federación.

A lo largo del torneo logró victorias de relevancia, como la conseguida ante la estadounidense Venus Williams en segunda ronda.

En 2010 llegó a tercera ronda del Abierto de Australia, donde cayó ante la primera favorita, Serena Williams, por 6-0 y 6-3.