Relación de energía-momento

En física, la relación de energía-momento, o relación de dispersión relativista, es la ecuación relativista que relaciona la energía total (que también se denomina energía relativista) con la masa invariante (que también se denomina masa en reposo) y la cantidad de movimiento.(1 )Esta ecuación es válida para un cuerpo o para un sistema físico, como una o más partículas, con energía total E, masa invariante m0 y momento de magnitud p. La constante c es la velocidad de la luz.Para cuerpos o sistemas con momento cero, se simplifica a la ecuación de masa-energíaEl modelo del mar de Dirac, que se utilizó para predecir la existencia de la antimateria, está estrechamente relacionado con la relación energía-momento.La relación energía-momento es consistente con la conocida equivalencia entre masa y energía en ambas interpretaciones: E = mc2 relaciona la energía total E con la masa relativista (total) m (alternativamente denotada como mrel o mtot), mientras que E0 = m0c2 relaciona la energía en reposo E0 con la masa en reposo (invariante) m0.La masa invariante (o masa en reposo) es una invariante para todos los sistemas de referencia (de ahí el nombre), no solo en los sistemas de referencia inerciales en el espacio-tiempo plano, sino también en los sistemas de referencia acelerados que viajan a través del espacio-tiempo curvo (véase más abajo).Sin embargo, la energía total de la partícula E y su momento relativista p dependen del sistema de referencia considerado.Aunque todavía se tiene que en el espacio-tiempo plano: Las cantidades E, p, E′ y p′ están todas relacionadas por una transformación de Lorentz.[4]​ La relación energía-momento se remonta al artículo de Max Planck,[5]​ publicado en 1906.Fue utilizada por Walter Gordon en 1926 y luego por Paul Dirac en 1928 bajo la formaDos de las más simples consideran Para un objeto masivo que se mueve a una velocidad de componentes u = (ux, uy, uz) con magnitud | u | = u en el sistema de referencia local:[1]​ es la energía total del objeto en movimiento en el sistema de referencia del laboratorio, es la cantidad de movimiento tridimensional del objeto en el sistema de referencia del laboratorio con magnitud | p | = p. La energía relativista E y el momento p incluyen el factor de Lorentz definido por: Algunos autores usan la masa relativista definida por: aunque la masa en reposo m0 tiene un significado más fundamental y se usará principalmente sobre la masa relativista m en este artículo.Entonces:[9]​ Si se realizan las sumas sobre los índices y luego se agrupan los términos similares al tiempo, similares al espacio-tiempo y similares al espacio, se obtiene: donde el factor 2 surge porque la métrica es un tensor simétrico y se utiliza la convención de los índices latinos i, j que toman los valores similares al espacio 1, 2, 3.Como cada componente de la métrica tiene dependencia del espacio y del tiempo en general, esto es significativamente más complicado que la fórmula citada al principio (consúltese tensor métrico (relatividad general) para obtener más información).En electromagnetismo, y debido a la invariancia relativista, es útil tener el campo eléctrico E y el campo magnético B en la misma unidad (Gauss), utilizando el sistema de unidades cgs (gaussiano), donde la energía se expresa en ergios, la masa en gramos (g) y el momento en g·cm·s−1.La energía también se puede expresar en teoría en unidades de gramos, aunque en la práctica se requiere una gran cantidad de energía para ser equivalente a masas en este rango.Para un cuerpo en su sistema de referencia en reposo, el momento es cero, por lo que la ecuación se simplifica a donde m0 es la masa en reposo del cuerpo.Si el objeto no tiene masa, como es el caso de un fotón, entonces la ecuación se reduce a Esta es una simplificación útil.Puede reescribirse de otras formas utilizando la relación de Broglie: si se da la longitud de onda λ o el número de onda k. Reescribiendo la relación para partículas masivas como: y expandiendo en serie de potencias mediante el teorema del binomio (o una serie de Taylor): en el límite de u ≪ c, se tiene que γ(u) ≈ 1 por lo que el momento tiene la forma clásica p ≈ m0u, y por lo tanto en primer orden en (p/m0c)2 (es decir, se conserva el término (p/m0c)2n para n = 1 y se descartan todos los términos para n ≥ 2), se tiene o donde el segundo término es la energía cinética clásica, y el primero es la energía en reposo de la partícula.Por cierto, no hay partículas sin masa en la mecánica clásica.En el caso de muchas partículas con momentos relativistas pn y energía En, donde n = 1, 2, ... (hasta el número total de partículas) simplemente etiqueta las partículas, tal como se miden en un sistema de referencia particular, se pueden sumar los cuadrimomentos en este sistema y luego tomar la norma; para obtener la relación para un sistema de muchas partículas: donde M0 es la masa invariante de todo el sistema, y no es igual a la suma de las masas en reposo de las partículas a menos que todas las partículas estén en reposo (véase masa en la relatividad especial para más detalles).Sustituyendo y reordenando los términos se obtiene la generalización de (1);(2 )Las energías y los momentos en la ecuación dependen todos del sistema de referencia, mientras que M0 es independiente del sistema de referencia.Las energías o los momentos de las partículas, medidos en algún sistema de referencia, se pueden eliminar utilizando la relación de energía y momento para cada partícula: lo que permite expresar M0 en términos de energías y masas en reposo, o momentos y masas en reposo.En un sistema de referencia particular, los cuadrados de las sumas se pueden reescribir como sumas de cuadrados (y productos): así que, sustituyendo las sumas, se pueden introducir sus masas en reposo mn en (2): Las energías se pueden eliminar mediante: de manera similar, los momentos se pueden eliminar teniendo en cuenta que: donde θnk es el ángulo entre los vectores de momento pn y pk.Reordenando los términos: Dado que la masa invariante del sistema y las masas en reposo de cada partícula son independientes del sistema de referencia, el lado derecho de la ecuación también es invariante (aunque las energías y los momentos se midan en un sistema de referencia en particular).Dado que la constante de Planck reducida ħ y la velocidad de la luz c aparecen y desordenan esta ecuación, aquí es donde las unidades naturales son especialmente útiles.Normalizándolos de forma que ħ = c = 1, se tiene que: La velocidad de un bradyón con la relación energía-momento relativista nunca puede superar el valor de c. Por el contrario, siempre es mayor que c para un taquión, cuya ecuación energía-momento es[10]​ Por el contrario, la hipotética materia exótica tiene masa negativa[11]​ y la ecuación energía-momento es