[1] El conjunto de los números enteros se representa mediante la letra
(que proviene del alemán Zahl, «número» o «cantidad»).
Los enteros están totalmente ordenados, y es posible definir varias nociones de distancia entre dos enteros cualesquiera, siendo la más usual igual al valor absoluto de su diferencia.
En concreto se da la siguiente cadena de inclusiones: formada de izquierda a derecha por los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos.
: combinaciones lineales de la forma m + in, donde m y n son enteros, e i es el número imaginario
se pueda poner en correspondencia con un subconjunto propio suyo significa que es un conjunto infinito-Dedekind.
y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado
al restar, no puede decirse simplemente que
una partición en clases de equivalencia, denotadas con corchetes como en
, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa.
Por ejemplo: Si admitimos el cero como número natural, podemos definir: Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces Luego el cero puede definirse como: El escoger
La definición anterior no depende de los representantes
escogidos, puesto que cualesquiera otros pares de las mismas clases de equivalencia conducen al mismo resultado.
(leído m es menor o igual que n) si respecto del orden en los números naturales.
Este orden no tiene cota superior ni inferior; informalmente, no hay un «número entero máximo» ni un «número entero mínimo».
El elemento identidad del grupo es el número cero, y es su propio negativo, el único entero con esta propiedad.
Todos los subgrupos propios son de la forma
, para algún entero positivo n. En particular, son todos infinitos e isomorfos al propio
contiene dos elementos, y es isomorfo al grupo cíclico C2.
, pues generaliza la construcción de los grupos diedrales
[8] El conjunto de los números enteros con la adición y la multiplicación
Este anillo posee las siguientes propiedades: A diferencia de la suma, no todo número entero tiene inverso multiplicativo; en consecuencia no siempre es posible dividir dos enteros.
Los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo son +1 y -1, que forman el grupo de unidades del anillo (un grupo multiplicativo).
El conjunto de los enteros se puede convertir en un espacio métrico si se define una función distancia d(m,n).
es un sunconjunto del espacio métrico de los reales,
es un subgrupo del grupo euclídeo de dimensión 1, denotado E(1).
En el conjunto de los enteros se puede definir una topología inducida por el orden, que proviene de considerar abiertos todos los intervalos de la forma:[15] En esta topología cada conjunto unitario es abierto: para todo entero n arbitrario, {n} = (n-1,n+1).
Por lo tanto se trata de la topología discreta, lo que dota al grupo aditivo
La topología inducida por la métrica usual es la misma: dado un número n cualquiera, existe un entorno abierto
: también son posibles otras topologías habituales como la trivial o la cofinita (aquella en que son abiertos los conjuntos con complementario finito junto con el propio