Problema del final feliz
El teorema del final feliz puede probarse mediante un simple análisis de casos: si cuatro o más puntos son vértices de la envolvente convexa, se pueden elegir cuatro puntos.
Se sabe que Sobre la base de los valores conocidos de f (N) para N = 3, 4 y 5, Erdős y Szekeres conjeturaron en su documento original que Más tarde demostraron, al construir ejemplos explícitos, que pero el límite superior mejor conocido cuando N ≥ 7 es También está la cuestión de si un conjunto de puntos suficientemente grande en posición general tiene un cuadrilátero convexo "vacío", pentágono, etc., es decir, uno que no contenga ningún otro punto interior.
La solución original al problema del final feliz se puede adaptar para demostrar que cinco puntos en posición general contienen un cuadrilátero convexo vacío, como se muestra en la ilustración, y diez puntos en posición general poseen un pentágono convexo vacío.
[8] Sin embargo, existen conjuntos de puntos arbitrariamente grandes en posición general que no contienen un heptágono convexo vacío.
Sin embargo, el número de puntos necesarios para encontrar k puntos en posición convexa puede ser menor en dimensiones más altas que en el plano, y es posible encontrar subconjuntos que están más altamente restringidos.
