En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en Rd, donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros.
Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número fi de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.
La curva de momentos en
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
está definida por El politopo cíclico de dimensión
vértices es la envolvente convexa de
{\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}
en la curva de momentos.
[1] La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices.
[1] Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).
La condición de uniformidad de Gale[2] proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.
{\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}
forma una faceta de
{\displaystyle C(n,d)}
están separados por un número par de elementos de
Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara.
Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.
[3][4] El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula y
a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.
El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970.
Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley[5] utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.