Primera conjetura de Hardy-Littlewood

En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–Littlewood[1]​ muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos.Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923.números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión{\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea{\displaystyle \pi _{P}(n)}el número de primosmenores quenúmeros primos.Entonces[1]​[3]​ donde es un producto sobre los números primos impares yw ( q ;{\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}denota el número de residuos distintos dees relacionado con la conjetura de los primos gemelos.denota el número de primos gemelos menores que n, entonces donde es la constante de los primos gemelos.[3]​ Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood.El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que (si tal primo existe) es el número de Skewes para P.[3]​ La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.[4]​ La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.