Para una k-tupla (a, b, ...), las posiciones donde la k-tupla coincide con un patrón en los números primos están dadas por el conjunto de enteros n tales que todos los valores (n + a, n + b, ...) son primos.
Normalmente, el primer valor de la k-tupla es 0 y el resto son números pares e impares positivos distintos.
[1] A continuación figuran varias de las k-tuplas más cortas que se conocen por otros nombres comunes: La secuencia OEIS A257124 cubre 7-tuplas ("septillizos principales") y contiene una descripción general de las secuencias relacionadas, como las tres secuencias correspondientes a las tres 8-tuplas admisibles (octillizos primos) y la unión de todas las 8-tuplas.
Para que una k-tupla tenga infinitas posiciones en las que todos sus valores sean primos, no puede existir una p prima tal que la tupla incluya todos los valores posibles diferentes de módulo p. Porque, si existiera tal primo p, entonces no importa qué valor de n se eligiera, uno de los valores formados al sumar n a la tupla sería divisible por p, por lo que solo podría haber un número finito de ubicaciones principales (solo aquellas que incluyen la propia p).
Por ejemplo, los números en una k-tupla no pueden tomar los tres valores 0, 1 y 2 módulo 3; de lo contrario, los números resultantes siempre incluirían un múltiplo de 3 y, por lo tanto, no todos podrían ser primos a menos que uno de los números sea 3.
Una k-tupla que satisface esta condición (es decir, no tiene una p para la cual cubra todos los diferentes valores módulo p) se denomina admisible.
Se conjetura que cada k-tupla admisible coincide con un número infinito de posiciones en la secuencia de números primos.
Sin embargo, no hay ninguna tupla admisible para la que se haya probado esto excepto la tupla 1 (0).
[2] Aunque (0, 2, 4) no es admisible, produce el conjunto único de números primos (3, 5, 7).
Algunas k-tuplas inadmisibles tienen más de una solución prima.
Esto no puede suceder para una k-tupla que incluye todos los valores módulo 3, por lo que para tener esta propiedad, una k-tupla debe cubrir todos los valores módulo un primo mayor, lo que implica que hay al menos cinco números en la tupla.
La tupla inadmisible más corta con más de una solución es la tupla de 5 elementos (0, 2, 8, 14, 26), que tiene dos soluciones: (3, 5, 11, 17, 29) y (5, 7, 13, 19, 31), donde se incluyen todas las congruencias (mod 5) en ambos casos.
Para todo n ≥ k esto siempre producirá números primos consecutivos.
Las primeras constelaciones primas son: El diámetro d en función de k figura en (sucesión A008407 en OEIS).
Una constelación prima a veces se denomina k-tuplete primo, pero algunos autores reservan ese término para instancias que no forman parte de k-tuplas más largas.
Si bien la conjetura no está probada, se considera probable que sea cierta.
Si ese es el caso, implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood, en cambio, es falsa.
que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la k-tupla