Polígono cercano

En matemáticas, un polígono cercano es una geometría de incidencia introducida en 1980 por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka,[1]​ quienes demostraron la conexión existente entre los llamados sistemas de líneas tetraédricas cerradas en espacios euclídeos y una clase de geometrías punto-línea a las que llamaron polígonos cercanos.

Estas estructuras amplían la noción de polígono generalizado, ya que cada 2n-gono generalizado es un 2n-gono cercano a un tipo particular.

Los polígonos cercanos se estudiaron exhaustivamente en la década de 1980, y a principios de la de 1990 se demostró la conexión entre ellos y los espacios polares duales.

[2]​ Algunos grupos simples esporádicos, por ejemplo el grupo de Hall-Janko y el grupo de Mathieu, actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.

Un 2d-gono cercano es una estructura de incidencia (

es el conjunto de líneas y

es la relación de incidencia, tal que: Debe tenerse en cuenta que las distancias se miden según la colinealidad en el grafo de los puntos, es decir, el grafo formado tomando puntos como vértices y uniendo un par de vértices si inciden con una línea común.

También se puede dar una definición de grafo teórico alternativa, un 2d-gono cercano es un gráfico conexo de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice x y cada agrupación máxima M existe un vértice único x' en M más cercano a x.

Las agrupaciones máximas de dicho gráfico corresponden a las líneas en la definición de la estructura de incidencia.

Un 0-gono cercano (d = 0) es un solo punto, mientras que un 2-gono cercano (d = 1) es solo una sola línea, es decir, un grafo completo.

Un cuadrilátero cercano (d = 2) es lo mismo que un cuadrángulo generalizado (posiblemente degenerado).

De hecho, se puede demostrar que cada 2d-gono generalizado es un 2d-gono cercano que satisface las dos condiciones adicionales siguientes: Un polígono cercano se llama denso si cada línea incide con al menos tres puntos y si cada dos puntos a distancia dos tienen al menos dos vecinos comunes.

Se dice que tiene orden (s, t) si cada línea incide precisamente con s + 1 puntos y cada punto incide precisamente con t + 1 líneas.

Los polígonos cercanos densos tienen una rica teoría y varias clases de ellos (como los polígonos cercanos densos delgados) se han clasificado por completo.

-gono cercano finito S se llama regular si tiene un orden

y contienen un punto (necesariamente único) a la distancia

-gonos cuyo gráfico de puntos (también conocido como grafo de colinealidad) es un grafo de distancia regular.