Espacio polar
En matemáticas, en el campo de geometría, un espacio polar[1] de rango n (n ≥ 3), o índice proyectivo (n − 1), consta de un conjunto P, convencionalmente llamado el conjunto de puntos, junto con ciertos subconjuntos de P, llamados subespacios, que satisfacen estos axiomas: Es posible definir y estudiar una clase de objetos un poco más grande usando solo relaciones entre puntos y líneas: un espacio polar es un espacio lineal parcial (P,L), de modo que para cada punto p ∈ P y cada línea l ∈ L, el conjunto de puntos de l colineales a p, solo tiene un elemento o es la totalidad de l. Los espacios polares finitos (donde P es un conjunto finito) también se estudian como objetos combinatorios.
Un espacio polar de rango dos es un cuadrángulo generalizado; en este caso, en la última definición, el conjunto de puntos de una recta
colineal con un punto p es el conjunto completo de
Se recupera la primera definición de la última bajo el supuesto de que las líneas tienen más de 2 puntos, los puntos se encuentran en más de 2 líneas y existen una línea
y un punto p que no está en
el espacio proyectivo de dimensión
una forma sesquilineal reflexiva o una forma cuadrática en el espacio vectorial subyacente.
Los elementos del espacio polar clásico finito asociados a esta forma son los elementos de los subespacios totalmente isótropos (cuando
es una forma sesquilineal) o los subespacios totalmente singulares (cuando
El índice de Witt de la forma es igual a la dimensión del espacio vectorial más grande del subespacio contenido en el espacio polar, y se llama rango del espacio polar.
Estos espacios polares clásicos finitos se pueden resumir en la siguiente tabla, donde
es la dimensión del espacio proyectivo subyacente y
es el rango del espacio polar.
, se obtiene un cuadrángulo generalizado.
Jacques Tits demostró que un espacio polar finito de rango al menos tres es siempre isomorfo con uno de los tres tipos de espacios polares clásicos indicados anteriormente.
Esto deja abierto solo el problema de clasificar los cuadrángulos finitos generalizados.
