Polígono bicéntrico

No todos los cuadrilátero son bicéntricos (es decir, poseen tanto un incírculo como un excírculo).

[4]​ Se conoce una fórmula general complicada para cualquier número n de lados para la relación entre el circunradio R, el inradio r y la distancia x entre el circuncentro y el incentro.

[2]​ En un polígono regular, el incírculo y el circuncírculo son concéntricos; es decir, comparten un centro común, que también es el centro del polígono regular, por lo que la distancia entre el incentro y el circuncentro siempre es cero.

Para cualquier polígono regular, las relaciones entre las longitudes del lado a, el radio r del incírculo y el radio R del excírculo son: Para algunos polígonos regulares que pueden ser construidos con regla y compás, se tienen las siguientes fórmulas algebraicas para estas relaciones: Así, se obtienen las siguientes aproximaciones decimales: Si dos círculos son los círculos inscrito y circunscrito de un determinado n-gono bicéntrico, entonces los mismos dos círculos son los círculos inscritos y circunscritos de un número infinito de n-gonos bicéntricos.

Más precisamente, cada tangente al incírculo puede ser extendida para convertirse en un n-gono bicéntrico, colocando los vértices en los puntos donde cruza el círculo exterior, continuando desde cada vértice con otra línea tangente, y siguiendo de la misma manera hasta que la cadena poligonal resultante se cierre, formando un n-gono.

El hecho de que el polígono siempre se cierre está implícito en el Gran teorema de Poncelet, que de forma generalizada también se aplica a las secciones cónicas inscritas y circunscritas.