Cuadrilátero bicéntrico

[3]​ Si dos círculos, uno dentro del otro, son el incírculo y el circuncírculo de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del círculo es el vértice de un nuevo cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo incírculo y el mismo circuncírculo.

Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son el cuadrado, el deltoide recto y trapecio tangencial isósceles.

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a, b, c, y d es bicéntrico si y solo si sus lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales, y además posee la propiedad de los cuadriláteros cíclicos de que los ángulos opuestos son suplementarios; es decir, Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde el incírculo de un cuadrilátero circunscrito es tangente a los lados.

Si el círculo es tangente a los lados AB, BC, CD, DA en W, X, Y, Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si se cumple alguna de las siguientes tres condiciones:[5]​ La primera de estas tres condiciones implica que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal.

[5]​ Existe un método simple para construir un cuadrilátero bicéntrico: Se comienza con el incírculo Cr alrededor del centro I con el radio r y luego se trazan dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el incírculo Cr.

En los puntos finales de las cuerdas, dibújense las tangentes a, b, c y d al círculo.

Estas tangentes se cruzan en cuatro puntos A, B, C y D, que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico.

El área también se puede expresar en términos de longitudes de las tangentes e, f, g, y h como[8]​: p.128 Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con el incentro I es[9]​ Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas tangentes k, l y diagonales p, q, entonces tiene área[8]​: p.129 Si k, l son las cuerdas tangentes y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área puede calcularse usando la fórmula[9]​ Esta fórmula no se puede usar si el cuadrilátero es un deltoide recto, ya que el denominador es cero en ese caso.

[9]​ El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según[9]​ En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo, el área está dada por[9]​ El área se da en términos del circunradio R y del inradio r como donde θ es un ángulo cualquiera entre las diagonales.

754 Si existe un cuadrilátero bicéntrico con inradio r cuyos lados tangentes son e, f, g, h, entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con inradio rv cuyas longitudes tangentes son ev, fv, gv, hv, donde v puede ser cualquier número real.

[19]​ Se mantiene la igualdad solo cuando los dos círculos son concéntricos (comparten el mismo centro); entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

[25]​ Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD:[26]​ donde r es el inradio.

Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con el incentro I, entonces[27]​ Una desigualdad con respecto al inradio r y al circunradio R en un cuadrilátero bicéntrico ABCD es[28]​ donde I es el incentro.