Paradoja de la escalera

Ahora, debe imaginarse que la escalera pasa a través de las puertas delanteras y traseras (abiertas) de un garaje o granero, cuyo espacio interno es inferior a la longitud de la escalera (longitud en reposo), por lo que si la escalera no se moviera, no podría caber dentro del granero.

[6]​ Por lo tanto, para el observador que viaja con la escalera, esta no cabrá dentro del edificio cuando lo atraviese.

La versión más simple de la paradoja implicaría un garaje con una puerta (delantera) y una puerta (trasera) abiertas, y una escalera que, cuando se considera en reposo con respecto al garaje sería demasiado larga para caber en su interior, y cuando se considera en movimiento para un observador externo, dado que viaja al 90% de la velocidad de la luz (c) quedaría contraída lo suficiente como para caber por completo dentro del garaje o granero mientras se mueve.

Si quisiéramos, durante un breve instante podríamos cerrar simultáneamente ambas puertas para demostrar que la escalera cabe en el interior del granero.

[1]​ La aparente paradoja surge a continuación, cuando se considera la simetría de la situación.

Por lo tanto, es el garaje el que se contrae en longitud, y ahora concluiremos que es demasiado pequeño para haber podido contener completamente a la escalera cuando pasó: la escalera no cabe y no podremos cerrar ambas puertas a ambos lados de la escalera en un instante sin golpearla.

[1]​ La solución a la aparente paradoja reside en considerar la relatividad, es decir, al aplicar la relatividad especial, se estaría considerando la relatividad de la simultaneidad: lo que un observador (por ejemplo, en el garaje) considera al observar dos acontecimientos simultáneos, en realidad puede no serlo para otro observador (por ejemplo, situado en la escalera).

Una forma, quizás más clara de verlo, sería considerar las puertas desde el marco de referencia del garaje, las cuales se podrían cerrar en un instante, mientras la escalera al completo, estuviera dentro.

[1]​[7]​ En ese momento, la puerta de entrada también se habría cerrado, por lo que la escalera quedaría atrapada dentro del garaje.

Quizás aquí puede valer la pena señalar que hemos deducido, considerando la estructura del garaje, que efectivamente atrapamos a la escalera dentro del garaje, lo cual es una propiedad o característica general, de la relatividad.

La explicación que surge puede ser tal que, aunque todas las partes de la escalera desaceleren hasta 0 en el marco de referencia del garaje, dado que la simultaneidad es relativa, la correspondiente desaceleración en el marco de la escalera no es simultánea con la del marco del garaje.

Además, como en el escenario previamente descrito, desde el marco de referencia del garaje, en un instante puede suceder que la escalera se encuentre completamente dentro del garaje o granero.

Surge la dificultad, fundamentalmente, al partir del supuesto de que la escalera es rígida (es decir, mantendrá la misma forma).

Pero al ser completamente rígida, esto significa que también puede transferir fuerza a una velocidad infinita (por lo que, cuando se empuja un extremo, el otro extremo debe reaccionar inmediatamente, de lo contrario, la escalera se deformará).

Por lo tanto, se puede considerar que los objetos no podrán ser rígidos bajo la relatividad especial.

A una velocidad lo suficientemente alta, cualquier material realista se degradaría en muchos nodos individuales (explotaría o perdería su integridad y contigüidad física, distribuyéndose y/o dispersándose prácticamente como lo haría un gas ideal,(cita) pudiendo formar plasma o una estructura desintegrada formada por nodos independientes).

Como decíamos anteriormente, esta primera versión de la paradoja fue propuesta por Wolfgang Rindler [1]​[7]​ implicaba una solución en la que una persona caminaba rápidamente, representado por una varilla, y caía en una rejilla.

Esto se debe a que, en el marco de referencia de la varilla, la parte frontal de la varilla primero se acelera hacia abajo (como se muestra en el dibujo, en la celda 3), y, a medida que pasa el tiempo, la varilla y su marco de referencia se somete más y más a la aceleración en el eje vertical, hasta que la parte posterior de la varilla, inclusive, se acelera en el eje vertical (hacia abajo), finalmente.

[7]​[12]​ La longitud del objeto físico, pues, se define como la distancia entre 2 eventos simultáneos, que ocurren en cada uno de los extremos del objeto físico, y, dado que la simultaneidad es relativa, esta longitud también lo será.

Esta variabilidad en la longitud es lo que se conoce como la contracción de Lorentz.

Figura 1: vista general del garaje y de la escalera en reposo
Figura 2: en el sistema de referencia del garaje, la escalera sufre una contracción longitudinal y, por lo tanto, encajará (durante un instante) en su interior
Figura 3: en el sistema de referencia de la escalera, el garaje sufre una contracción longitudinal y es demasiado pequeño para contener la escalera
Figura 4: escenario desde el sistema de referencia del garaje. Una escalera de longitud contraída que atraviesa el garaje, y durante un instante cabría completamente dentro del garaje o granero
Figura 5: escenario desde el sistema de referencia de la escalera. Un garaje de longitud contraída que se desplaza horizontalmente, y hace pasar a la escalera por su interior. Solo podría cerrarse una de las puertas. Si se hace simultáneamente en ese instante, golpeará a la escalera en alguno de sus extremos
Figura 6: Diagrama de Minkowski de la paradoja de la escalera. El garaje está representado en azul claro y la escalera en rojo claro. El diagrama está en el marco en reposo del garaje, siendo x y t los ejes de espacio del garaje y tiempo, respectivamente. El marco de la escalera será el de una persona sentada en la parte delantera de la escalera, siendo x ′ y t ′ los ejes de espacio y tiempo de la escalera, respectivamente. Las líneas azul y roja, AB y AC, representan la escalera en el momento en que su extremo frontal se encuentra con la puerta de salida del garaje, en el marco de referencia del garaje y la escalera, respectivamente. El evento D es el extremo trasero de la escalera que llega a la entrada del garaje.
Figura 7: una escalera que se contrae bajo aceleración para caber en un garaje de longitud relativamente reducida ( contraída ).
Figura 8: Diagrama de Minkowski del caso en el que la escalera se detuvo en toda su longitud, de manera simultánea, en el marco del garaje. Cuando esto ocurre, el marco del garaje ve la escalera como AB, pero el marco de la escalera ve la escalera como AC. Cuando la parte trasera de la escalera entra al garaje en el punto D, todavía no ha sentido los efectos de la aceleración de su parte delantera. En este momento, según alguien en reposo con respecto a la parte trasera de la escalera, la parte delantera de la escalera estará en el punto E y verá la escalera como DE. Se ve que esta longitud en el marco de la escalera no es la misma que CA, la longitud en reposo de la escalera antes de la desaceleración.
Figura 1: Diagrama de Minkowski del caso en el que la escalera se detiene por impacto con la pared trasera del garaje. El impacto es el evento A. En el impacto, el marco del garaje ve la escalera como AB, pero el marco de la escalera ve la escalera como AC. La escalera no sale del garaje, por lo que su parte delantera ahora va directamente hacia arriba, pasando por el punto E. La parte trasera de la escalera no cambiará su trayectoria en el espacio-tiempo hasta que sienta los efectos de la desaceleración o del impacto. El efecto del comportamiento más adelantado, puede propagarse hacia afuera desde A, a una velocidad no mayor que la de la velocidad de la luz , por lo que la parte posterior de la escalera nunca sentirá los efectos del impacto o desaceleración hasta el punto F (obsérvese el ángulo de 45° de la línea AF, correspondiente a la velocidad de transmisión luminosa de información) o más tarde, momento en el cual la escalera se encontrará dentro del garaje en ambos marcos . Se debería tener en cuenta que, cuando el diagrama se dibuja en el marco de la escalera, la velocidad de la luz es la misma, pero la escalera es más larga, por lo que la fuerza tardará más en llegar al extremo posterior; esto le ofrece un margen temporal suficiente, para que la parte trasera de la escalera se mueva dentro del garaje.
Una persona (representada por una varilla segmentada) cayendo a una reja.
El diagrama de la izquierda ilustra una barra y un anillo en el marco de reposo del anillo en el instante en que sus centros coinciden. La barra aparece contraída y se mueve hacia arriba y hacia la derecha, mientras que el anillo aparece estacionario y no contraído . El diagrama de la derecha ilustra la situación en el mismo instante, pero en el marco de reposo de la barra. El anillo ahora está contraído y gira con respecto a la barra, y la barra no está contraída . De nuevo, el anillo pasa por encima de la barra sin tocarla.