Paradoja de los gemelos

Esta paradoja fue propuesta por Albert Einstein al desarrollar lo que hoy se conoce como la teoría de la relatividad especial.

Dicha teoría postula que la medida del tiempo no es absoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, en general, no coincide, sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos.

En ese contexto es en el que se plantea la paradoja.

De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, visto desde la perspectiva del sistema de referencia de la Tierra, el gemelo que se queda envejecerá más que el gemelo que viaja por el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque el reloj del gemelo de la nave espacial va más lento que el del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano.

Esto es, el gemelo de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.

A Einstein le costó aclarar esta paradoja unos cuantos años, hasta que formuló la relatividad general y demostró que, ciertamente, es el gemelo de la Tierra quien envejece más rápido.

Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizar los cálculos desde el punto de vista del gemelo que permanece en la Tierra y desde el punto de vista del gemelo viajero, y ver que las estimaciones de tiempo transcurrido coinciden examinadas desde ambos puntos de vista.

El cálculo desde el punto de vista del gemelo viajero es más complejo porque requiere realizar cálculos en un sistema no inercial.

A continuación, se presentan las predicciones de la teoría aplicadas a ambos gemelos y se prueba que los resultados coinciden, demostrando que la aparente paradoja no es tal.

Las condiciones del experimento requieren que el gemelo viajero se aleje de la Tierra y más tarde regrese, lo cual necesariamente implica tener en consideración aceleraciones positivas y negativas.

Simplificadamente, supondremos que el experimento puede llevarse a cabo en 5 etapas: Por construcción la duración del viaje medido por el gemelo situado en la Tierra, es la suma de los tiempos de cada etapa, ya que hemos definido esas etapas a partir de lecturas del gemelo en la Tierra, para este gemelo la duración del viaje ha sido:

Juntando los resultados anteriores, en el momento del encuentro de acuerdo con los cálculos del gemelo terrestre, él y su gemelo viajero habrán notado tiempos diferentes de viaje dados por:

Es sencillo comprobar que para cualesquiera valores de w, T1 y T2, el segundo tiempo es siempre menor que el primero:

Los cálculos en el sistema de referencia no inercial del gemelo viajero son más complicados, aunque conducen exactamente al mismo resultado anterior.

asociadas al observador no inercial cuya relación con las coordenadas usadas por el gemelo terrestre es: (1)

Durante la primera etapa del recorrido, el gemelo viajero está sometido a aceleración w. El tensor métrico, haciendo el cambio de coordenadas a las coordenadas asociadas a su sistema de referencia, es: (2)

En este sistema de referencia el gemelo viajero está en reposo y el punto x = 0 se mueve según una geodésica: (3)

En la segunda etapa del viaje, el gemelo viajero pasa de nuevo a ser un observador inercial que se aleja con velocidad uniforme del gemelo terrestre.

Una posible elección de la métrica en ese caso viene dada por:[2]​ (7)

Estos resultados vuelven a coincidir con los cálculos que se hicieron desde el sistema inercial del gemelo terrestre.

Como todas las cantidades vuelven a ser idénticas se cumple de nuevo que

Usando el enfoque de esa teoría más general, la parte del viaje en la que el gemelo viajero se mueve aceleradamente son percibidas por éste como si estuviera en el seno de un "campo gravitatorio efectivo" asociado a la aceleración, de acuerdo con lo postulado por el principio de equivalencia.

[3]​ Según el enfoque de la relatividad general la diferencia acumulada de tiempo entre los dos gemelos puede ser explicada mediante una dilatación gravitacional del tiempo.

De acuerdo con la relatividad general, la relación entre los tiempos propios acumulados por dos observadores situados en diferentes puntos de un campo gravitatorio estático puede representarse por:

Si ignoramos los efectos gravitatorios de la Tierra y consideramos solo los términos asociados a la aceleración del gemelo viajero podemos escribir la ecuación anterior como:

Donde a es la aceleración y d es una distancia efectiva entre los dos gemelos.

Es importante notar que aunque la solución anterior se llame resolución según la relatividad general de hecho se realiza mediante observadores acelerados tal como fueron definidos por Einstein en 1907 en el contexto del principio de equivalencia y por tanto básicamente es equivalente a la solución de la teoría de la relatividad especial.

El experimento más claro que mostró el efecto de dilatación temporal no se llevó a cabo con un par de gemelos tal como hemos descrito sino con dos relojes idénticos.

Al comparar los dos relojes atómicos después del viaje, el del avión y el de la Tierra, ya no estaban sincronizados.

Tras descontar ciertos efectos gravitatorios secundarios, y asumiendo que no hubo ningún error de medida, lo cual se comprobó controlando las condiciones y repitiendo el experimento varias veces, se concluyó que la única explicación posible venía por la teoría de la relatividad de Einstein.