En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial vectorial representado por el símbolo:En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como: siendolos vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados.El nombre del símbolo ∇ proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, instrumento musical que tiene una forma similar.Hay palabras relacionadas en los lenguajes arameo y hebreo.El símbolo fue usado por primera vez por William Rowan Hamilton, pero de forma lateral: ◁.Otro nombre menos conocido del símbolo es atled (delta deletreado al revés), porque nabla es una letra griega delta (Δ) invertida: en el griego actual se la llama ανάδελτα (anádelta), que significa "delta invertida".En HTML se escribe ∇ y en LaTeX como \nabla.En Unicode, es el carácter U+2207, o 8711 en notación decimal.En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, en la expresión aparecen los factores de escala: En particular, para coordenadas cilíndricas () resulta y para coordenadas esféricas () Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee.Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) yes un campo escalar, vectorial o tensorial.es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto.De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.El operador nabla también se aplica a variedades diferenciables.Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que dé lugar a una derivada covariante, se define el operador nabla como la aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad.Fijado un sistema local de coordenadas, se expresa como: La derivada covariante sube el orden del tensor al que se le aplica.en tres dimensiones su derivada covariante sería un tensor de segundo orden de 9 componentes (una matriz 3×3) La derivada covariante puede representarse en este contexto comoCon esto ante pequeños desplazamientos el vector cambiaría según:Todas las expresiones que involucran el operador nabla del cálculo vectorial enpuede ser expresadas en términos de diferencial exterior de una n-forma n < 3 sobre: Una función es una 0-forma sobre el espacio euclidiano, su gradiente es:es el operador dual de Hodge yson las componentes del tensor métrico en las coordenadasEste operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F, dando: Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto.Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada.Las fórmulas más importantes son:
