Repunit

En matemáticas recreativas, un repituno (en inglés, repunit) es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (la forma más sencilla de repidígito).El término en inglés proviene de repeated unit y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler.En binario, estos números son los primos de Mersenne.Los dos primeros repitunos en base b para n=1 y n=2 son En particular, los repitunos decimales (en base 10) a quienes se les suele llamar simplemente repitunos se definen como Así, el número Rn = Rn(10) consta de n ejemplares del dígito 1 en base 10.La siguiente lista recoge la descomposición en factores primos de los sucesivos repitunos (Rn = 1, 11, 111, 1111, ...) .Los factores primos coloreados en rojo indican que son "nuevos factores", es decir, que el factor primo coloreado de rojo divide a Rn pero que no divide a ningún Rk para todo k < n. (sucesión A102380 en OEIS)[1]​ Los factores primos más pequeños de los sucesivos Rn son: La definición de repitunos tuvo su origen en las matemáticas recreativas al buscar sus factores primos.es el d-ésimo polinomio ciclotómico y d recorre los divisores de n. Para p primo,, que tiene la forma esperada de un repituno cuando se sustituye x por b.[2]​ Luego anunció que no hay ningún otro primo del mismo tipo desde R86453 hasta R200000.En noviembre de 2012 se han comprobado todos los demás candidatos hasta R2500000, pero no se ha encontrado ningún probable primo hasta ahora.Se ha conjeturado que existen infinitos primos repitunos[5]​ dado que suelen aparecer tan frecuentemente como el teorema de los números primos predice: el exponente del N-ésimo primo repituno es generalmente alrededor de un múltiplo fijo del exponente del (N-1)-ésimo.Los primeros primos repitunos en base 3 son: que corresponden a los siguientes valores deLos primeros primos repitunos en base 5 son que corresponden a los siguientes valores deLos primeros primos repitunos en base 6 son que corresponden a los siguientes valores de: Los primeros primos repitunos en base 7 son que corresponden a los siguientes valores deLos primeros primos repitunos en base 12 son que corresponden a los siguientes valores deésimo) figura a continuación La base más pequeñaésimo) figura a continuación El primo más pequeñoSi n es una potencia prima (puede escribirse como pr, con p primo, r entero; y además p y r > 0) , entonces todos los repitunos en base -b no son primos aparte de Rp y R2.Si n no es una potencia prima, entonces no existe base -b que sea un repituno primo, por ejemplo, b= 64, 729 (con n= 6), b= 1024 (con n= 10), y b= −1 o 0 (con n cualquier número natural).Otra situación especial es b= −4k4, con k entero positivo, que tiene la factorización aurifeuilleana, por ejemplo, b= −4 (con k= 1, entonces R2 y R3 son primos), y b= −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (con k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), entonces no existe ningún primo repituno en base -b.También se conjetura que cuando b no es una potencia perfecta ni −4k4 con k entero positivo, entonces hay infinitos números primos repitunos de base -b., que satisfaga las condiciones: tiene números primos repitunos generalizados de la forma paray hay alrededor de repitunos primos en base-b menos que N. También se tienen las siguientes 3 propiedades: Aunque todavía no se conocían por ese nombre, los repitunos en base 10 fueron estudiados por muchos matemáticos durante el siglo XIX en un esfuerzo de desarrollar y predecir el modelo cíclico de los decimales periódicos.Hacia 1880, incluso R17 se había factorizado[14]​ y es curioso que, aunque Édouard Lucas demostró que (el inverso de) ningún primo inferior a tres millones tenía período diecinueve, no hubo ningún intento de comprobar la primalidad de un repituno hasta comienzos del siglo XX.El matemático norteamericano Oscar Hoppe probó que R19 es primo en 1916[15]​ y Lehmer y Kraitchik, de forma independiente, hallaron que R23 es primo en 1929.Sin embargo, hubo un desarrollo importante en el campo de los repitunos generalizados, lo que produjo un gran número de primos nuevos y probables primos.Desde 1999, se han hallado cuatro posibles primos repitunos, pero es improbable que pueda probarse el carácter primo de cualquiera de ellos en un futuro previsible por su enorme tamaño.Dattatreya Ramachandra Kaprekar ha definido los números Demlo como la concatenación de una parte izquierda, media y derecha, donde la parte izquierda y derecha deben tener la misma longitud (hasta un posible cero a la izquierda) con forma de número repituno, y el de la parte central puede contener cualquier número adicional de este dígito repetido.El hecho de que estos números sean los cuadrados de los repitunos ha llevado a algunos autores a llamar números de Demlo a la secuencia infinita de estos,[17]​ 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (sucesión A002477 en OEIS), aunque se puede comprobar que no son números Demlo para p = 10, 19, 28, ...