Potencia perfecta

En matemáticas, una potencia perfecta es un número natural que es producto de factores naturales iguales, o dicho de otro modo, un número entero que se puede expresar como un cuadrado o como una potencia entera mayor que uno.Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1, y k > 1 tales que mk = n. En este caso, n puede llamarse k-ésima potencia perfecta.Si k = 2 o k = 3, entonces n se llama cuadrado perfecto o cubo, respectivamente.A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0k = 0 para cualquier k > 0, 1k = 1 para cualquier k).Se puede generar una sucesión de potencias perfectas iterando a través de los valores posibles para m y k. Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (mostrando potencias duplicadas) son (sucesión A072103 en OEIS): La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluyendo duplicados como 34 y 92, ambos iguales a 81) es 1: lo que se puede demostrar de la siguiente manera: Las primeras potencias perfectas sin duplicados son: La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es:[1]​ donde μ(k) es la función de Möbius y ζ(k) es la función zeta de Riemann.Según Euler, Goldbach mostró (en una carta ahora perdida) que la suma de 1/p − 1 sobre el conjunto de potencias perfectas p, excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1: Esto a veces se conoce como el teorema de Goldbach-Euler.Detectar si un número natural n dado es o no una potencia perfecta se puede lograr de muchas maneras diferentes, con niveles variables de complejidad.Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles para k en cada uno de los divisores de n, hasta, entonces uno de los valoresdebe ser igual a n si n es una potencia perfecta.Este método se puede simplificar de inmediato considerando en su lugar solo los valores primos de k. Esto se debe a que sipara un número compuestok = a pdonde p es primo, entonces esto se puede reescribir simplemente como{\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.Si se conoce la factorización completa de n, descrita comoson primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si, donde mcd denota el máximo común divisor.Como el mcd(96, 60, 24)= 12, n es una potencia perfecta de 12 (y una potencia perfecta de 6, 4, cúbica y cuadrada, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12).En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 23= 8 y 32= 9, demostrando así la conjetura de Catalan.La conjetura de Pillai establece que para cualquier número entero positivo k dado, solo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k. Este es un problema sin resolver.