Función monótona

[1]​ Las funciones de tal clase surgieron primero en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden.Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.Es decir una función es monótona cuando es creciente o decreciente en todo su dominio., las funciones monótonas constituyen los (homo)morfismos de dicha categoría.Como ya se señaló, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) números reales, ordenados de forma natural.Por la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman también monótonamente crecientes (o no decreciente), respectivamente.A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera.La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función, otra forma de interpretar este comportamiento es decir que su derivada primera (D') siempre es mayor o igual a cero (D' >= 0) o que nunca pierde el signo positivo dicha derivada.La segunda de ellas es estrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función, en este caso es similar que en anterior pero la derivada primera siempre es en este caso menor o igual a cero (D' =<0) y nunca pierde su signo negativo.Lo monótono es la negación al cambio que también se dice en la jerga matemática o del tratamiento de datos «no cambio».Nos estamos refiriendo a que en toda función monótona la derivada nunca cambia el signo independientemente cual sea.Para el análisis matemático es importante se sabe que si se cumple esta condición la función no presenta máximos y mínimos relativos.Monotonía, en matemáticas, cada una de las siguientes propiedades de una función f : R → R implica la siguiente: Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el análisis matemático.Dos importantes hechos que se deducen de que una función sea monótona son: Una importante aplicación de las funciones monótonas es en probabilidad.