Modelaje matemático de epidemias
El modelaje matemático de epidemias consiste en el uso del lenguaje y herramientas matemáticas para explicar y predecir el comportamiento de agentes infecciosos y potencialmente dañinos a poblaciones humanas o animales.
Además los modelos matemáticos pueden proyectar cómo progresan las enfermedades infecciosas para mostrar el resultado probable de una epidemia (incluso en las plantas) para ayudar a informar las instituciones de salud pública y sanidad vegetal.
Los modelos usan suposiciones básicas o estadísticas recopiladas junto con matemáticas para encontrar parámetros para varias enfermedades infecciosas que se usan para calcular los efectos de diferentes intervenciones, como programas de vacunación masiva.
El modelado puede ayudar a decidir qué intervenciones evitar y cuáles probar, o puede predecir futuros patrones de crecimiento, etc.
El modelado de enfermedades infecciosas es una herramienta que se utiliza para estudiar los mecanismos por los cuales se propagan las enfermedades, predecir el curso de un brote y evaluar estrategias para controlar una epidemia.
El primer científico que trató sistemáticamente de cuantificar las causas de muerte fue John Graunt en su libro Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality, en 1662.
Formado como médico, Bernoulli creó un modelo matemático para defender la práctica de la inoculación contra la viruela.
A principios del siglo XX, William Hamer y Ronald Ross aplicaron la ley de acción de masas para explicar el comportamiento epidémico.
El modelo epidémico de Kermack-McKendrick (1927) y el modelo epidémico de Reed-Frost (1928) describen la relación entre los individuos susceptibles, infectados e inmunes en una población.
Recientemente, se han utilizado modelos basados en agentes (MBA) a cambio de modelos compartimentales más simples.
[2] Por ejemplo, los MBA epidemiológicos se han utilizado para informar a las instituciones de salud pública (no farmacéuticas) contra la propagación del SARS-CoV-2.
[3] Los MBA epidemiológicos, a pesar de su complejidad y de requerir un alto poder computacional, han sido criticados por simplificar y hacer suposiciones poco realistas.
[4][5] Aun así, pueden ser útiles para evaluar las decisiones con respecto a las medidas de mitigación y supresión cuando los MBA se calibran con precisión.
[6] En un modelo determinista la enfermedad puede infectar a los individuos de manera aleatoria.
A continuación se da una breve descripción de la notación que usaremos a lo largo de los modelos deterministas (por orden de aparición): En 1927, W. O. Kermack y A. G. McKendrick crearon el modelo SIR que considera una enfermedad que se desarrolla a lo largo del tiempo y únicamente tres clases de individuos (de donde proviene el nombre): El flujo de transiciones de un grupo a otro se da como sigue: Dada una población fija N=S(t)+I(t)+R(t), Kermack y McKendrick obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el modelo:
Éste es una ampliación del modelo SIR y considera nacimientos a lo largo del tiempo t, de modo que hay una constante renovación de individuos susceptibles a la enfermedad.
Simplificación del modelo SIR con nacimientos y muertes, en donde un individuo recobrado nunca desarrolla inmunidad a la enfermedad, de modo que el flujo de un grupo a otro resulta: Sus ecuaciones diferenciales son:
Extensión del modelo SIR, en donde los individuos recobrados pueden perder la inmunidad a la enfermedad y volver a formar parte del grupo de susceptibles.
El flujo de un grupo a otro está dado como sigue: Sus ecuaciones diferenciales son:
El modelo SEIS considera una nueva clase de individuos E (del inglés exposed), es decir, aquellos que portan la enfermedad pero que al hallarse en su periodo de incubación no muestran síntomas y pueden o no estar en condición de infectar a otros.
Derivado del modelo SEIS pero agregando esta vez a la población de recobrados.
En este caso, al igual que los anteriores, cada grupo es mutuamente excluyente y la suma de todos es la población total, esto es,
El flujo de un grupo a otro es: y sus ecuaciones diferenciales resultan: 1
Este modelo considera una nueva clase de individuos M, los llamados infantes con inmunidad pasiva que tras cierto tiempo la pierden y están en condición de ser portadores de la enfermedad (para una descripción más detallada véase Inmunidad (medicina)).
Los flujos de grupo resultan: y sus ecuaciones diferenciales:
Para poblaciones pequeñas la fluctuación de una enfermedad puede ser muy grande y debido a esto se vuelve necesario considerar el factor aleatorio en el modelo.
En estos casos la probabilidad se hace presente y las variables aleatorias pasan a sustituir a las ecuaciones diferenciales como herramientas para resolver el problema.
Este proceso estocástico discreto modela una población que evoluciona en el tiempo y en cada etapa el proceso puede tomar valores enteros no negativos, que representarán el tamaño total de la población en dicho periodo.
Usando el modelo antes mencionado podemos considerar una epidemia donde la "población" consistirá justamente en el conjunto de todos los individuos enfermos, y para cada enfermo su "descendencia" será el número de individuos nuevos que contagia.
Estas magnitudes tienen importancia tanto teórica como práctica, pues uno de los aspectos más importantes de una epidemia es su agresividad y posible alcance.
