Proceso de Galton-Watson
El proceso de Galton-Watson, nombrado así en honor del naturalista británico Francis Galton y su compatriota el matemático Henry William Watson, es un proceso estocástico utilizado para modelizar el desarrollo de una población de individuos autorreplicantes.
También se ha denominado a veces proceso de Bienaymé-Galton-Watson por el francés Irénée-Jules Bienaymé, que había trabajado en el mismo problema anteriormente.
Tiene su origen en la investigación estocástica sobre la extinción de los apellidos.
En la sociedad victoriana producía preocupación la posibilidad de que los apellidos aristocráticos se estuviesen extinguiendo.
En origen, Galton planteó la cuestión respecto a la probabilidad de un evento de ese tipo en la revista Educational Times en el año 1873, y el reverendo Henry William Watson respondió con una solución.
Al parecer, Galton y Watson derivaron el proceso independientemente del trabajo previo de Bienaymé (Heyde y Seneta, 1977).
Sin embargo, pronto se empezó a emplear en el campo de la biología, para modelizar la extinción de los seres vivos.
Consideremos una población que evoluciona a lo largo de distintos periodos y donde cada periodo consiste en la duración de una generación.
En el periodo t cada miembro i de la población da origen a una familia (sus descendientes), a continuación el individuo muere.
El tamaño de cada familia está dado por una variable aleatoria
denota el tamaño de la población al tiempo n, se sigue de los supuestos del modelo que
denota la convolución de f consigo misma i veces.
Es natural preguntarse si en el modelo Galton-Watson dada una función de distribución
la población llegará a cero en algún momento, si crecerá indefinidamente o si eventualmente se estabilizará en un valor finito positivo.
