Estado mixto
La matriz de densidad surge como una herramienta crucial en la teoría de-coherencia cuántica.
En este estado se tiene el máximo grado de información sobre las propiedades electrónicas del átomo, pero su núcleo tiene una propiedad, que designaremos
del espín nuclear) que puede tomar los valores 1/2 y -1/2 con la misma probabilidad (en ausencia de campos electromagnéticos externos).
El concepto de estado mezcla fue introducido en 1927 independientemente por el físico soviético Lev Davidovich Landau y Felix Bloch y matemáticamente formulado en términos del operador densidad por John von Neumann.
La matriz de densidad es especialmente útil para describir estados mixtos, ya que cualquier estado, puro o mixto, puede caracterizarse por una matriz de densidad única (dada una base).
La luz no polarizada se puede describir como un promedio en el que cada fotón puede tomar el estado
Éste comportamiento es equivalente a una descripción en el que cada fotón puede estar polarizado vertical u horizontalmente con un
sea el operador observable asociado que tiene una representación en el espacio de Hilbert
Las probabilidades asociadas implican que el proceso de preparación, el sistema terminará en el estado
No es difícil mostrar que las propiedades estadísticas del observable para el sistema preparado en tal estado mixto están completamente determinadas, sin embargo, no existe ningún vector de estado
en este caso está dado por Para el ejemplo anterior de luz no polarizada, el operador de densidad es En mecánica cuántica se llama operador densidad al objeto matemático correspondiente a un operador lineal que codifica todas las propiedades estadísticas de un sistema cuántico en la situación más general posible, en particular cuando no es posible describir el sistema mediante un estado puro.
Para una base de funciones de onda concreta, se llama matriz densidad a la matriz que representa al operador densidad del sistema en dicha base.
Para que un operador sea una matriz densidad, debe satisfacer varias propiedades.
Además, como su traza vale 1 y esta es la suma de sus valores propios, se tiene que si
sea positivo significa que su determinante debe ser mayor o igual a cero, por lo tanto
a través del vector n, que se encuentra en la esfera unidad.
, donde j, k ∈ {x,y,z}, nos da que La mayoría de las matrices densidad suelen corresponder a muchos conjuntos diferentes.
, y el segundo corresponde a un conjunto en el que la mitad de los elementos están en el estado
Estos conjuntos son diferentes, pero están descritos por la misma matriz de densidad.
Los dos ejemplos anteriores son solo casos particulares de esta afirmación general.
Esto, sin embargo, no es cierto para los estados puros; éstos tienen una descomposición única.
y se concluye que la representación de cualquier estado puro es única.
Los estados puros no se pueden expresar como una suma de otras matrices densidad.
La entropía de un sistema cuántico vendría dada por: Se puede mostrar que: donde
En modo quizás contra intuitivo, la medida "disminuye la información" al borrar la interferencia cuántica en el sistema compuesto i.e.
Esto es análogo al reducir la entropía de un objeto colocándolo en un refrigerador: El aire fuera del intercambiador de calor se calienta, ganando incluso más entropía que el objeto en el refrigerador.
Se puede suponer ahora que el sistema compuesto está en estado puro
no se descompondrá como un único producto tensorial de vectores en
En ese caso, no hay una forma razonable de asociar un estado puro
La ecuación de von Neumann dicta: donde los corchetes denotan un conmutador.
