definidas en el espacio n-dimensional Rn, donde i es la unidad imaginaria.
Aquí f y g son funciones continuamente diferenciables que toman valores reales.
Si, sin embargo, estas mismas sinusoides tienen fases que cambian rápidamente a medida que cambia la frecuencia, se tendrá una suma destructiva.
y anulamos los términos de orden superior a
generará oscilaciones rápidas dentro de la integral, lo que lleva a la cancelación.
La segunda afirmación es que, cuando f es una función de Morse, de modo que los puntos singulares de f sean puntos críticos no degenerados y aislados, entonces la cuestión se reduce al caso n = 1.
Si se asume, ya sin pérdida de generalidad, que P es el origen, se toma una función de activación continuamente diferenciable h con valor 1 en el intervalo [-1,1] y que rápidamente tiende a 0 fuera de ella.
Tómese Por lo tanto, el teorema de Fubini reduce I(k) a un producto de integrales sobre la recta real, como con f(x) = x2 o −x2.
El caso con el signo menos es el complejo conjugado del caso con el signo más, por lo que hay esencialmente una estimación asintótica necesaria.
[1] Este es el modelo para todas las integrales de una dimensión I(k) con f teniendo un único punto crítico no degenerado en el que f tiene segunda derivada mayor que 0.
De hecho, el caso modelo tiene como segunda derivada 2 en 0.
Con el fin de escalar con k, teniendo en cuenta que la sustitución de k por ck donde c es una constante es la misma que escalar x mediante √ c. De ello se deduce que para los valores generales de f "(0)> 0, el factor √ (π / K) se convierte en Para f "(0) <0 se usa la fórmula conjugada compleja, como se mencionó antes.