Método de Chapman-Enskog
Al finalizar el siglo XIX se conoce la ecuación de Boltzmann que rige la dinámica del medio gaseoso a la escala microscópica y las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes para el nivel macroscópico.
Hará falta esperar algunos años para que Sydney Chapman y David Enskog propongan simultáneamente e independientemente en 1916 y 1917 una solución a este problema.
[1][2][3] Más recientemente este método se ha extendido al caso de un gas en desequilibrio termodinámico,[4] siendo este último aspecto un área de investigación muy activa en la actualidad.
Este enfoque permite encontrar las ecuaciones de Navier-Stokes y para justificar la difusión por gradientes térmico, desconocida en el tiempo en el que están publicados los trabajos de Chapman y de Enskog.
En este tipo de método, el término n de la expansión queda en función del término (n+1), por lo que debemos hacer una hipótesis para "cerrar" el sistema.
para la partícula (átomo o molécula) perteneciente a la especie
, es el operador (o núcleo) de colisión, es un operador integral cuadrático que se describe a continuación, dando el efecto de las colisiones que se supondrán elásticas para simplificar el problema: no hay intercambio entre los grados de libertad interna y traslación, no hay reacción química.
Hay tantas distribuciones como de especies presentes en el medio.
En este sistema que es por lo tanto galileano, la velocidad inicial de la partícula
En esta referencia, el ángulo de desviación respecto al eje
Se puede dar una formulación equivalente que introduce la sección transversal diferencial
, integrando en las velocidades y, si es necesario, en la especie, se obtienen las ecuaciones de evolución macroscópicas llamadas ecuaciones de producto contraído.
Se supone que es un medio homogéneo (una sola especie presente).
, la ecuación de Boltzmann está escrita donde: Escribimos la solución como una serie usando un parámetro
De donde se imponen las siguientes restricciones sobre la solución.
se anulan, así como el flujo de calor
El tensor de presión está reducido a su traza
A orden uno, se obtiene una ecuación integral de Fredholm para la incógnita
y el "coeficiente de difusión térmica multicomponente",
Hay diversas soluciones aproximadas del sistema de Stefan-Maxwell que permite obtener una expresión explícita del flujo de difusión bajo una forma semejante a la ley de Fick, la cual no es exacta para una mezcla binaria.
El tensor de presiones tiene una forma clásica donde
El tensor de estrés viscoso Un término adicional
Su influencia es débil incluso totalmente despreciable para los gases poco densos.
El último término de la ecuación es el corolario del efecto Soret y está nombrado efecto Dufour.
Los coeficientes del desarrollo se expresan en funciones integrales de colisión.
En la práctica, estamos satisfechos con el primer orden para el desarrollo y las integrales de colisión son funciones de la temperatura tabuladas por varios autores.
Además hay soluciones aproximadas de los sistemas lineales que dan los diversos coeficientes bajo forma explícita.
Aquí nuevamente obtenemos una integral de Fredholm para la incógnita
David Burnett propuso en 1935 una solución de esta ecuación.
Esta tiene el inconveniente de no respetar el théorème[6] H. Parece que la subida en orden constituye un callejón sin salida, todas las variantes propuestas hasta este día no resuelven este problema.
