En topología, una rama de las matemáticas, el lema del pegado es un resultado fundamental que da condiciones para que al "pegar" un conjunto de funciones continuas se obtenga como resultado una función que también sea continua.
Por "pegar" entendemos construir la función, definida en la unión de los dominios de las funciones originales, que asigna a cada punto el valor que le asigna la función original definida en el dominio en que esté, es decir, si las funciones son
, pegarlas resulta en la función
Claramente, las funciones originales deben coincidir en las intersecciones de sus dominios para que el pegado esté bien definido.
El lema del pegado es fundamental en topología algebraica: sirve para demostrar que la homotopía de funciones es una relación de equivalencia y para construir el grupo fundamental de un espacio topológico (para definir la operación de ese grupo, pues permite que al concatenar caminos continuos se obtenga también un camino continuo).
espacios topológicos y consideremos en
(esta condición es necesaria para poder definir bien el pegado).
Supongamos además que se satisface alguna de las siguientes dos condiciones: Entonces, la función pegado
está bien definida y es continua.
Veamos que es necesario que se satisfaga alguna de las dos condiciones 1 o 2 anteriores, pues si no el pegado podría no ser continuo.
Veamos primero un contraejemplo en caso de que todos los conjuntos no sean abiertos (o cerrados).
Este es más sencillo, pues podemos tomar
, que son continuas por ser constantes.
Sin embargo, el pegado (que está bien definido porque
son disjuntos) no lo es:
Veamos ahora un contraejemplo en caso de que todos los conjuntos sean cerrados pero haya una cantidad infinita de ellos.
y los cerrados en que dividimos
En todos ellos definimos la función constante igual a 1 (luego continua), excepto en
donde la definimos igual a 0.
Claramente las intersecciones se dan entre los conjuntos distintos del 0, por lo que las funciones valen lo mismo en ellas y podemos definir el pegado.
Este en cambio es la función
Veamos que cualquiera de las dos condiciones 1 y 2 es suficiente.
arbitrario y vemos que su antiimagen
Pero por definición del pegado,
habríamos acabado por definición de topología (
Sólo tenemos, sin embargo, que son abiertos de
Pero por definición de topología inducida, esto quiere decir que
Y esto es lo que queríamos, pues ahora
Para la condición 2 procedemos de forma similar pero razonando con cerrados.
, al ser una unión finita de cerrados, vuelve a ser un cerrado.