Sus padres fueron Betty y Saul Suzman, un importador de tabaco.
Suzman apareció en varios dramas televisivos británicos durante los años 1960 y los años 1970, incluyendo adaptaciones de Saint Joan (1968), Las tres hermanas (1969), Macbeth (1970), Hedda Gabler (1972), Noche de reyes (1973) y El detective cantante (1986).
Desde entonces, Suzman ha aparecido en pocos filmes, incluyendo The Black Windmill (1974) de Don Siegel, Nijinsky (1980), El contrato del dibujante (1982) de Peter Greenaway, A Dry White Season (1989) junto a Marlon Brando, Y la nave va (1989) de Federico Fellini, Monjas a la carrera (1990) y Max (2002).
Asimismo, ha dirigido varias producciones desde 1990, incluyendo A Dream of People con la RSC, The Cruel Grasp en el Festival Internacional de Edimburgo, No Flies on Mr Hunter en el Chelsea Centre (1992), La muerte de un viajante en el Clwyd Theatr Cymru (1993) y The Snow Palace en el Tour and Tricycle Theatre (1998).
En 2002, Suzman regresó a la RSC para actuar en una nueva versión de The Hollow Crown junto a Donald Sinden, Ian Richardson y Derek Jacobi.